Номер 110, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $3^{\frac{1}{2}};$

2) $10^{\frac{4}{5}};$

3) $6^{-\frac{1}{4}};$

4) $12^{-\frac{2}{3}};$

5) $(a + b)^{1,5};$

6) $(x^2 - 3y)^{-\frac{3}{3}}.$

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется основное свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Если показатель степени отрицательный, применяется правило: $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $3^{\frac{1}{2}}$
Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a=3$, $m=1$, $n=2$.
$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $10^{\frac{4}{5}}$
Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a=10$, $m=4$, $n=5$.
$10^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{10^4}$.
Ответ: $\sqrt[5]{10^4}$.

3) $6^{-\frac{1}{4}}$
Сначала избавимся от отрицательного показателя: $6^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{6^{\frac{1}{4}}}$.
Затем преобразуем степень в корень: $6^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{6^1} = \sqrt[4]{6}$.
Следовательно, $6^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{6}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{6}}$.

4) $12^{-\frac{2}{3}}$
Преобразуем степень с отрицательным показателем: $12^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{12^{\frac{2}{3}}}$.
Затем преобразуем степень в корень: $12^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{12^2}$.
Следовательно, $12^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{12^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{12^2}}$.

5) $(a + b)^{1,5}$
Сначала представим десятичный показатель в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, $(a + b)^{1,5} = (a + b)^{\frac{3}{2}}$.
Теперь применяем формулу, где основание $a'=(a+b)$, $m=3$, $n=2$.
$(a + b)^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{(a+b)^3} = \sqrt{(a+b)^3}$.
Ответ: $\sqrt{(a+b)^3}$.

6) $(x^2 - 3y)^{-3\frac{1}{3}}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-3\frac{1}{3} = -(3 + \frac{1}{3}) = -\frac{10}{3}$.
Получаем выражение $(x^2 - 3y)^{-\frac{10}{3}}$.
Избавимся от отрицательного показателя: $(x^2 - 3y)^{-\frac{10}{3}} = \frac{1}{(x^2 - 3y)^{\frac{10}{3}}}$.
Преобразуем степень в корень, где основание $a'=(x^2 - 3y)$, $m=10$, $n=3$.
$(x^2 - 3y)^{\frac{10}{3}} = \sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}$.
Следовательно, $(x^2 - 3y)^{-3\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(x^2 - 3y)^{10}}}$.