Номер 115, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде: а) квадрата; б) куба; в) шестой степени:

1) $a^{12}$;

2) $a^{-15}$;

3) $a^{\frac{1}{4}}$;

4) $a^{4,2}$;

5) $a^{-1\frac{2}{3}}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Чтобы представить выражение $a^k$ в виде $n$-ой степени, нам нужно найти такой показатель $m$, чтобы выполнялось равенство $(a^m)^n = a^k$. Из этого следует, что $m \cdot n = k$, а значит, $m = \frac{k}{n}$.

1) $a^{12}$

а) в виде квадрата
Чтобы представить $a^{12}$ в виде квадрата, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^2$.
$2m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{2} = 6$.
Получаем: $a^{12} = (a^6)^2$.
Ответ: $(a^6)^2$.

б) в виде куба
Чтобы представить $a^{12}$ в виде куба, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^3$.
$3m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{3} = 4$.
Получаем: $a^{12} = (a^4)^3$.
Ответ: $(a^4)^3$.

в) в виде шестой степени
Чтобы представить $a^{12}$ в виде шестой степени, нужно найти показатель степени $m$ для выражения $(a^m)^6$.
$6m = 12$, следовательно, $m = \frac{12}{6} = 2$.
Получаем: $a^{12} = (a^2)^6$.
Ответ: $(a^2)^6$.

2) $a^{-15}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{-15}$.
$2m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{2} = -7.5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-7.5})^2$.
Ответ: $(a^{-7.5})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{-15}$.
$3m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{3} = -5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-5})^3$.
Ответ: $(a^{-5})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{-15}$.
$6m = -15$, следовательно, $m = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Получаем: $a^{-15} = (a^{-2.5})^6$.
Ответ: $(a^{-2.5})^6$.

3) $a^{\frac{1}{4}}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{\frac{1}{4}}$.
$2m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{8}})^2$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{8}})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{\frac{1}{4}}$.
$3m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 3 = \frac{1}{12}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{12}})^3$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{12}})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{\frac{1}{4}}$.
$6m = \frac{1}{4}$, следовательно, $m = \frac{1}{4} \div 6 = \frac{1}{24}$.
Получаем: $a^{\frac{1}{4}} = (a^{\frac{1}{24}})^6$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{24}})^6$.

4) $a^{4.2}$

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{4.2}$.
$2m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{2} = 2.1$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{2.1})^2$.
Ответ: $(a^{2.1})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{4.2}$.
$3m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{3} = 1.4$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{1.4})^3$.
Ответ: $(a^{1.4})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{4.2}$.
$6m = 4.2$, следовательно, $m = \frac{4.2}{6} = 0.7$.
Получаем: $a^{4.2} = (a^{0.7})^6$.
Ответ: $(a^{0.7})^6$.

5) $a^{-1\frac{2}{3}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$. Таким образом, выражение равно $a^{-\frac{5}{3}}$.

а) в виде квадрата
Ищем $m$ для $(a^m)^2 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$2m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 2 = -\frac{5}{6}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{6}})^2$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{6}})^2$.

б) в виде куба
Ищем $m$ для $(a^m)^3 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$3m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 3 = -\frac{5}{9}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{9}})^3$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{9}})^3$.

в) в виде шестой степени
Ищем $m$ для $(a^m)^6 = a^{-\frac{5}{3}}$.
$6m = -\frac{5}{3}$, следовательно, $m = -\frac{5}{3} \div 6 = -\frac{5}{18}$.
Получаем: $a^{-1\frac{2}{3}} = (a^{-\frac{5}{18}})^6$.
Ответ: $(a^{-\frac{5}{18}})^6$.