Номер 112, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Найдите значение выражения:

1) $27^{\frac{1}{3}}$;

2) $64^{-\frac{5}{6}}$;

3) $0,0001^{-0,25}$;

4) $256^{0,375}$;

5) $\left(2\frac{23}{49}\right)^{-1,5}$.

1) Для вычисления $27^{\frac{1}{3}}$ представим основание 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3^3$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

2) Для вычисления $64^{\frac{5}{6}}$ представим основание 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$.

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$64^{\frac{5}{6}} = (2^6)^{\frac{5}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32.

3) Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и степени.

Основание: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Показатель степени: $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в исходное выражение и используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,0001^{-0,25} = (10^{-4})^{-\frac{1}{4}} = 10^{-4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10.

4) Преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь.

$0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{3}{8}$.

Представим основание 256 в виде степени с основанием 2. Известно, что $256 = 2^8$.

Теперь подставим полученные значения в выражение и применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$256^{0,375} = (2^8)^{\frac{3}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{3}{8}} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8.

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а десятичный показатель степени — в обыкновенную дробь.

Основание: $2\frac{23}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 23}{49} = \frac{98 + 23}{49} = \frac{121}{49}$.

Показатель степени: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{121}{49})^{-\frac{3}{2}}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $:

$(\frac{121}{49})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{49}{121})^{\frac{3}{2}}$.

Теперь представим основание дроби в виде квадратов чисел: $\frac{49}{121} = \frac{7^2}{11^2} = (\frac{7}{11})^2$.

Подставим это в выражение и применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$((\frac{7}{11})^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{7}{11})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{11})^3 = \frac{7^3}{11^3} = \frac{343}{1331}$.

Ответ: $\frac{343}{1331}$.