Номер 111, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt{a}$;

2) $\sqrt[3]{m^2}$;

3) $\sqrt[6]{2x}$;

4) $\sqrt[4]{5^{-3}}$;

5) $\sqrt[9]{(x+y)^2}$;

6) $\sqrt[9]{x^2+y^2}$.

Чтобы заменить арифметический корень степенью с дробным показателем, используется следующая формула: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $. В этой формуле $ n $ является показателем корня (натуральное число, $ n \ge 2 $), а $ m $ — показателем степени подкоренного выражения. Если показатель степени у подкоренного выражения не указан, он равен 1. Если не указан показатель корня (как в случае с квадратным корнем), он равен 2.

1) $ \sqrt{a} $

Квадратный корень имеет показатель $ n=2 $. Подкоренное выражение $ a $ находится в первой степени, то есть $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = a^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} $

2) $ \sqrt[3]{m^2} $

Показатель корня $ n=3 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m=2 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[3]{m^2} = m^{\frac{2}{3}} $.

Ответ: $ m^{\frac{2}{3}} $

3) $ \sqrt[6]{2x} $

Показатель корня $ n=6 $. Подкоренное выражение $ 2x $ можно рассматривать как $ (2x)^1 $, поэтому $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[6]{2x} = (2x)^{\frac{1}{6}} $.

Ответ: $ (2x)^{\frac{1}{6}} $

4) $ \sqrt[4]{5^{-3}} $

Показатель корня $ n=4 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m=-3 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[4]{5^{-3}} = 5^{\frac{-3}{4}} = 5^{-\frac{3}{4}} $.

Ответ: $ 5^{-\frac{3}{4}} $

5) $ \sqrt[9]{(x+y)^2} $

Показатель корня $ n=9 $. Подкоренное выражение — это $ (x+y) $ во второй степени, поэтому $ m=2 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[9]{(x+y)^2} = (x+y)^{\frac{2}{9}} $.

Ответ: $ (x+y)^{\frac{2}{9}} $

6) $ \sqrt[9]{x^2+y^2} $

Показатель корня $ n=9 $. Подкоренное выражение $ x^2+y^2 $ можно рассматривать как $ (x^2+y^2)^1 $, поэтому $ m=1 $.

Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[9]{x^2+y^2} = (x^2+y^2)^{\frac{1}{9}} $.

Ответ: $ (x^2+y^2)^{\frac{1}{9}} $