Номер 114, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Упростите выражение:

1) $y^{3.4} \cdot y^{-1.8};$

2) $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}};$

3) $(y^{-4})^{0.9};$

4) $y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}};$

5) $\left(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}}\right)^{\frac{49}{20}};$

6) $(y^6)^{-0.9} \cdot (y^{2.3})^4 : (y^{-2.5})^4;$

7) $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}};$

8) $\sqrt[5]{a} \cdot a^{\frac{5}{6}};$

9) $\sqrt[6]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{7}};$

10) $\left(\sqrt[5]{a^{-4}}\right)^{\frac{5}{16}} \cdot \left(a^{-\frac{7}{8}}\right)^{\frac{4}{21}}.$

1) Для упрощения выражения $y^{3.4} \cdot y^{-1.8}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$y^{3.4} \cdot y^{-1.8} = y^{3.4 + (-1.8)} = y^{3.4 - 1.8} = y^{1.6}$.
Ответ: $y^{1.6}$.

2) Для упрощения выражения $y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$y^{\frac{15}{28}} : y^{\frac{6}{7}} = y^{\frac{15}{28} - \frac{6}{7}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 28:
$\frac{15}{28} - \frac{6}{7} = \frac{15}{28} - \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{15}{28} - \frac{24}{28} = \frac{15 - 24}{28} = -\frac{9}{28}$.
Следовательно, выражение равно $y^{-\frac{9}{28}}$.
Ответ: $y^{-\frac{9}{28}}$.

3) Для упрощения выражения $(y^{-4})^{0.9}$ воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(y^{-4})^{0.9} = y^{-4 \cdot 0.9} = y^{-3.6}$.
Ответ: $y^{-3.6}$.

4) Для упрощения выражения $y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$y^{\frac{5}{9}} \cdot y^{\frac{5}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} = y^{\frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{6}}$.
Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 6}{36} = \frac{20 + 15 + 30}{36} = \frac{65}{36}$.
Таким образом, выражение равно $y^{\frac{65}{36}}$.
Ответ: $y^{\frac{65}{36}}$.

5) Для упрощения выражения $(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}}$ воспользуемся свойствами $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^{\frac{10}{21}} y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}} = (x^{\frac{10}{21}})^{\frac{49}{20}} \cdot (y^{\frac{16}{35}})^{\frac{49}{20}}$.
Упростим показатель для $x$: $\frac{10}{21} \cdot \frac{49}{20} = \frac{10 \cdot 49}{21 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$.
Упростим показатель для $y$: $\frac{16}{35} \cdot \frac{49}{20} = \frac{16 \cdot 49}{35 \cdot 20} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{28}{25}$.
Результат: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{7}{6}} y^{\frac{28}{25}}$.

6) Упростим выражение $(y^6)^{-0.9} \cdot (y^{2.3})^4 : (y^{-2.5})^4$ по частям, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(y^6)^{-0.9} = y^{6 \cdot (-0.9)} = y^{-5.4}$.
$(y^{2.3})^4 = y^{2.3 \cdot 4} = y^{9.2}$.
$(y^{-2.5})^4 = y^{-2.5 \cdot 4} = y^{-10}$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение: $y^{-5.4} \cdot y^{9.2} : y^{-10}$.
Используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, получим:
$y^{-5.4 + 9.2 - (-10)} = y^{-5.4 + 9.2 + 10} = y^{3.8 + 10} = y^{13.8}$.
Ответ: $y^{13.8}$.

7) Упростим выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$. Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель: $x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{12} + \frac{3}{12}} = x^{\frac{5}{12}}$.
Знаменатель: $x^{\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{2}{9} + \frac{1}{12}} = x^{\frac{8}{36} + \frac{3}{36}} = x^{\frac{11}{36}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{\frac{5}{12}}}{x^{\frac{11}{36}}} = x^{\frac{5}{12} - \frac{11}{36}} = x^{\frac{15}{36} - \frac{11}{36}} = x^{\frac{4}{36}} = x^{\frac{1}{9}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{9}}$.

8) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{a} \cdot a^{\frac{5}{6}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{5}{6}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$\frac{1}{5} + \frac{5}{6} = \frac{6}{30} + \frac{25}{30} = \frac{31}{30}$.
Результат: $a^{\frac{31}{30}}$.
Ответ: $a^{\frac{31}{30}}$.

9) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{7}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$.
Выражение принимает вид: $a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{-\frac{3}{7}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$\frac{5}{6} + (-\frac{3}{7}) = \frac{5}{6} - \frac{3}{7} = \frac{35 - 18}{42} = \frac{17}{42}$.
Результат: $a^{\frac{17}{42}}$.
Ответ: $a^{\frac{17}{42}}$.

10) Упростим выражение $(\sqrt[5]{a^{-4}})^{\frac{5}{16}} \cdot (a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}}$ по частям.
Сначала преобразуем первый множитель. Представим корень в виде степени: $\sqrt[5]{a^{-4}} = a^{-\frac{4}{5}}$.
Теперь возведем в степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^{-\frac{4}{5}})^{\frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{16}} = a^{-\frac{4}{16}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь упростим второй множитель:
$(a^{\frac{7}{8}})^{\frac{4}{21}} = a^{\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21}} = a^{\frac{28}{168}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Перемножим полученные результаты: $a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$.
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = -\frac{1}{12}$.
Результат: $a^{-\frac{1}{12}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{12}}$.