Номер 121, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Сократите дробь:

1) $\frac{m + 4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$;

2) $\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}}}$;

3) $\frac{49a - 4b}{7a^{0,5} + 2b^{0,5}}$;

4) $\frac{m - m^{0,5}n^{0,5} + n}{m^{1,5} + n^{1,5}}$;

5) $\frac{a - 6a^{0,5}b^{0,5} + 9b}{a^{3}b^{2,5} - 3a^{2,5}b^{3}}$;

6) $\frac{4m - m^{\frac{3}{4}}}{4m^{\frac{5}{4}} - m}$;

7) $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 16}{a - 64}$;

8) $\frac{p - 7p^{\frac{7}{9}}}{p - 49p^{\frac{5}{9}}}$;

9) $\frac{1^{\frac{1}{54}} + 4^{\frac{1}{54}}}{1^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}}}$.

1) Исходная дробь: $\frac{m + 4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{8}}$. Для этого представим $m$ как $m^1 = m^{\frac{8}{8}}$.
$m + 4m^{\frac{5}{8}} = m^{\frac{8}{8}} + 4m^{\frac{5}{8}} = m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{8}{8} - \frac{5}{8}} + 4) = m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 4)$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 4)}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m^{\frac{3}{8}} + 4)$:
$m^{\frac{5}{8}}$.
Ответ: $m^{\frac{5}{8}}$.

2) Исходная дробь: $\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}}}$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель со степенью с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{7}{12}$ и $\frac{4}{9}$. Приведя к общему знаменателю 36, получим $\frac{21}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Наименьший показатель - $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. Выносим $b^{\frac{4}{9}}$ за скобки.
$b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}} = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{7}{12} - \frac{4}{9}} - 1) = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{21-16}{36}} - 1) = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{36}} - 1)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{36}} - 1)}$.
Сократим дробь на $b^{\frac{4}{9}}$:
$\frac{7}{b^{\frac{5}{36}} - 1}$.
Ответ: $\frac{7}{b^{\frac{5}{36}} - 1}$.

3) Исходная дробь: $\frac{49a - 4b}{7a^{0.5} + 2b^{0.5}}$.
Числитель дроби является разностью квадратов. Представим $49a = (7a^{0.5})^2$ и $4b = (2b^{0.5})^2$.
$49a - 4b = (7a^{0.5})^2 - (2b^{0.5})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(7a^{0.5} - 2b^{0.5})(7a^{0.5} + 2b^{0.5})$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(7a^{0.5} - 2b^{0.5})(7a^{0.5} + 2b^{0.5})}{7a^{0.5} + 2b^{0.5}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(7a^{0.5} + 2b^{0.5})$:
$7a^{0.5} - 2b^{0.5}$.
Ответ: $7a^{0.5} - 2b^{0.5}$.

4) Исходная дробь: $\frac{m - m^{0.5}n^{0.5} + n}{m^{1.5} + n^{1.5}}$.
Знаменатель дроби является суммой кубов. Представим $m^{1.5} = (m^{0.5})^3$ и $n^{1.5} = (n^{0.5})^3$.
$m^{1.5} + n^{1.5} = (m^{0.5})^3 + (n^{0.5})^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(m^{0.5} + n^{0.5})((m^{0.5})^2 - m^{0.5}n^{0.5} + (n^{0.5})^2) = (m^{0.5} + n^{0.5})(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{m - m^{0.5}n^{0.5} + n}{(m^{0.5} + n^{0.5})(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)$:
$\frac{1}{m^{0.5} + n^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{0.5} + n^{0.5}}$.

5) Исходная дробь: $\frac{a - 6a^{0.5}b^{0.5} + 9b}{a^3b^{2.5} - 3a^{2.5}b^3}$.
Числитель является полным квадратом разности. Представим $a = (a^{0.5})^2$, $9b = (3b^{0.5})^2$, и $6a^{0.5}b^{0.5} = 2 \cdot a^{0.5} \cdot 3b^{0.5}$.
$a - 6a^{0.5}b^{0.5} + 9b = (a^{0.5})^2 - 2 \cdot a^{0.5} \cdot 3b^{0.5} + (3b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - 3b^{0.5})^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{2.5}b^{2.5}$:
$a^3b^{2.5} - 3a^{2.5}b^3 = a^{2.5}b^{2.5}(a^{3-2.5} - 3b^{3-2.5}) = a^{2.5}b^{2.5}(a^{0.5} - 3b^{0.5})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{0.5} - 3b^{0.5})^2}{a^{2.5}b^{2.5}(a^{0.5} - 3b^{0.5})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{0.5} - 3b^{0.5})$:
$\frac{a^{0.5} - 3b^{0.5}}{a^{2.5}b^{2.5}}$.
Ответ: $\frac{a^{0.5} - 3b^{0.5}}{a^{2.5}b^{2.5}}$.

6) Исходная дробь: $\frac{4m - m^{\frac{3}{4}}}{4m^{\frac{5}{4}} - m}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{3}{4}}$:
$4m - m^{\frac{3}{4}} = 4m^{\frac{4}{4}} - m^{\frac{3}{4}} = m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} - 1) = m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m$ (или $m^1$):
$4m^{\frac{5}{4}} - m = m(4m^{\frac{5}{4}-1} - 1) = m(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{1}{4}} - 1)}{m(4m^{\frac{1}{4}} - 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$:
$\frac{m^{\frac{3}{4}}}{m} = m^{\frac{3}{4} - 1} = m^{-\frac{1}{4}}$.
Ответ: $m^{-\frac{1}{4}}$.

7) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 16}{a - 64}$.
Числитель является разностью квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 16 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 4^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{1}{3}} + 4)$.
Знаменатель является разностью кубов: $a - 64 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 4^3 = (a^{\frac{1}{3}} - 4)((a^{\frac{1}{3}})^2 + 4a^{\frac{1}{3}} + 4^2) = (a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{1}{3}} + 4)}{(a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 4)$:
$\frac{a^{\frac{1}{3}} + 4}{a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{3}} + 4}{a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16}$.

8) Исходная дробь: $\frac{p - 7p^{\frac{7}{9}}}{p - 49p^{\frac{5}{9}}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $p^{\frac{7}{9}}$:
$p - 7p^{\frac{7}{9}} = p^{\frac{9}{9}} - 7p^{\frac{7}{9}} = p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{9}{9}-\frac{7}{9}} - 7) = p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $p^{\frac{5}{9}}$:
$p - 49p^{\frac{5}{9}} = p^{\frac{9}{9}} - 49p^{\frac{5}{9}} = p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{9}{9}-\frac{5}{9}} - 49) = p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{4}{9}} - 49)$.
Выражение в скобках $(p^{\frac{4}{9}} - 49)$ является разностью квадратов: $(p^{\frac{2}{9}})^2 - 7^2 = (p^{\frac{2}{9}} - 7)(p^{\frac{2}{9}} + 7)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)}{p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)(p^{\frac{2}{9}} + 7)}$.
Сократим дробь на $(p^{\frac{2}{9}} - 7)$ и упростим степени $p$:
$\frac{p^{\frac{7}{9}}}{p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{2}{9}} + 7)} = \frac{p^{\frac{7}{9}-\frac{5}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7} = \frac{p^{\frac{2}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7}$.
Ответ: $\frac{p^{\frac{2}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7}$.

9) Исходная дробь: $\frac{15^{\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{4}}}{10^{\frac{1}{4}} + 30^{\frac{1}{4}}}$.
В числителе представим $45 = 3 \cdot 15$ и вынесем за скобки общий множитель $15^{\frac{1}{4}}$:
$15^{\frac{1}{4}} + (3 \cdot 15)^{\frac{1}{4}} = 15^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}} \cdot 15^{\frac{1}{4}} = 15^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})$.
В знаменателе представим $30 = 3 \cdot 10$ и вынесем за скобки общий множитель $10^{\frac{1}{4}}$:
$10^{\frac{1}{4}} + (3 \cdot 10)^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{15^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})}{10^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 + 3^{\frac{1}{4}})$:
$\frac{15^{\frac{1}{4}}}{10^{\frac{1}{4}}} = (\frac{15}{10})^{\frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}$.