Номер 127, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+10} - \sqrt{x-5} = 3;$

2) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2;$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8;$

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5;$

5) $\sqrt{3x+10} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{2x+12};$

6) $\sqrt{2x+7} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x+3}.$

1) $\sqrt{x+10} - \sqrt{x-5} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x + 10 \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge 5 \end{cases} \Rightarrow x \ge 5$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:
$\sqrt{x+10} = 3 + \sqrt{x-5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+10})^2 = (3 + \sqrt{x-5})^2$
$x+10 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-5} + (\sqrt{x-5})^2$
$x+10 = 9 + 6\sqrt{x-5} + x-5$

Приведем подобные слагаемые и выразим оставшийся корень:
$x+10 = x+4 + 6\sqrt{x-5}$
$10 - 4 = 6\sqrt{x-5}$
$6 = 6\sqrt{x-5}$
$1 = \sqrt{x-5}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-5})^2$
$1 = x-5$
$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.
$x=6$ принадлежит области $x \ge 5$.
Выполним проверку, подставив $x=6$ в исходное уравнение:
$\sqrt{6+10} - \sqrt{6-5} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.
$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $x=6$.

2) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2$

ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 8 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x \ge -8 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

Перенесем корень в правую часть:
$\sqrt{4x+8} = 2 + \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:
$4x+8 = (2 + \sqrt{3x-2})^2$
$4x+8 = 4 + 4\sqrt{3x-2} + 3x-2$
$4x+8 = 3x+2 + 4\sqrt{3x-2}$

Уединим корень:
$4x-3x+8-2 = 4\sqrt{3x-2}$
$x+6 = 4\sqrt{3x-2}$

Снова возведем в квадрат. Так как $x \ge \frac{2}{3}$, то левая часть $x+6$ всегда положительна.
$(x+6)^2 = (4\sqrt{3x-2})^2$
$x^2 + 12x + 36 = 16(3x-2)$
$x^2 + 12x + 36 = 48x - 32$
$x^2 - 36x + 68 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36-32}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{36+32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

Оба корня $x_1=2$ и $x_2=34$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$).
Проверка для $x=2$: $\sqrt{4\cdot2+8} - \sqrt{3\cdot2-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2=2$. Верно.
Проверка для $x=34$: $\sqrt{4\cdot34+8} - \sqrt{3\cdot34-2} = \sqrt{136+8} - \sqrt{102-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12-10=2$. Верно.

Ответ: $x=2; x=34$.

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow x \ge -\frac{1}{3}$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{3x+1} = 8 - \sqrt{x+1}$

Возведем в квадрат. Правая часть должна быть неотрицательной: $8 - \sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \le 8 \Rightarrow x+1 \le 64 \Rightarrow x \le 63$.
$(\sqrt{3x+1})^2 = (8 - \sqrt{x+1})^2$
$3x+1 = 64 - 16\sqrt{x+1} + x+1$
$3x+1 = x+65 - 16\sqrt{x+1}$

Выразим оставшийся корень:
$16\sqrt{x+1} = x-3x+65-1$
$16\sqrt{x+1} = -2x+64$
$8\sqrt{x+1} = -x+32$

Возведем в квадрат. Правая часть должна быть неотрицательной: $-x+32 \ge 0 \Rightarrow x \le 32$.
$(8\sqrt{x+1})^2 = (32-x)^2$
$64(x+1) = 1024 - 64x + x^2$
$64x + 64 = 1024 - 64x + x^2$
$x^2 - 128x + 960 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544 = 112^2$
$x_1 = \frac{128-112}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{128+112}{2} = \frac{240}{2} = 120$

Проверим корни. ОДЗ $x \ge -\frac{1}{3}$. Дополнительное условие $x \le 32$.
$x_1=8$ удовлетворяет всем условиям.
$x_2=120$ не удовлетворяет условию $x \le 32$, является посторонним корнем.
Проверка для $x=8$: $\sqrt{8+1} + \sqrt{3\cdot8+1} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3+5=8$. Верно.

Ответ: $x=8$.

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5$

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 16 - 3x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ 3x \le 16 \end{cases} \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{16}{3}$.

Уединим один из корней и возведем в квадрат:
$\sqrt{16-3x} = 5 - \sqrt{3x+1}$
$16-3x = (5 - \sqrt{3x+1})^2$
$16-3x = 25 - 10\sqrt{3x+1} + 3x+1$
$16-3x = 26+3x - 10\sqrt{3x+1}$

Выразим корень:
$10\sqrt{3x+1} = 26+3x - 16+3x$
$10\sqrt{3x+1} = 6x+10$
$5\sqrt{3x+1} = 3x+5$

Снова возведем в квадрат. Правая часть $3x+5$ должна быть неотрицательной. $3x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{5}{3}$. Это условие выполняется в рамках ОДЗ.
$(5\sqrt{3x+1})^2 = (3x+5)^2$
$25(3x+1) = 9x^2 + 30x + 25$
$75x+25 = 9x^2 + 30x + 25$
$9x^2 - 45x = 0$
$9x(x-5)=0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=5$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ $[-\frac{1}{3}, \frac{16}{3}]$. $\frac{16}{3} \approx 5.33$.
$x_1=0$ входит в ОДЗ.
$x_2=5$ входит в ОДЗ.
Проверка для $x=0$: $\sqrt{3\cdot0+1} + \sqrt{16-3\cdot0} = \sqrt{1} + \sqrt{16} = 1+4=5$. Верно.
Проверка для $x=5$: $\sqrt{3\cdot5+1} + \sqrt{16-3\cdot5} = \sqrt{16} + \sqrt{1} = 4+1=5$. Верно.

Ответ: $x=0; x=5$.

5) $\sqrt{3x+10} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{2x+12}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x+10 \ge 0 \Rightarrow x \ge -10/3 \\ 5x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6/5 \\ 6x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2/3 \\ 2x+12 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6 \end{cases} \Rightarrow x \ge -\frac{2}{3}$.

Перегруппируем слагаемые:
$\sqrt{3x+10} - \sqrt{2x+12} = \sqrt{6x+4} - \sqrt{5x+6}$

Заметим, что $x=2$ является корнем уравнения:
$\sqrt{3\cdot2+10} + \sqrt{5\cdot2+6} = \sqrt{16} + \sqrt{16} = 4+4=8$
$\sqrt{6\cdot2+4} + \sqrt{2\cdot2+12} = \sqrt{16} + \sqrt{16} = 4+4=8$
Равенство $8=8$ верное.

Докажем, что других корней нет. Разделим обе части перегруппированного уравнения на $(x-2)$, предполагая $x \ne 2$. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой части на сопряженное выражение:
$\frac{(\sqrt{3x+10} - \sqrt{2x+12})(\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12})}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{(\sqrt{6x+4} - \sqrt{5x+6})(\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6})}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\frac{(3x+10) - (2x+12)}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{(6x+4) - (5x+6)}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\frac{x-2}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{x-2}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $(x-2)$ за скобки:
$(x-2) \left( \frac{1}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} - \frac{1}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}} \right) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-2=0$ (что дает корень $x=2$) или если выражение в скобках равно нулю.
$\frac{1}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{1}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}$
Сравним функции в знаменателях.
При $x > 2$: $6x+4 > 3x+10$ (так как $3x>6$) и $5x+6 > 2x+12$ (так как $3x>6$). Значит, $\sqrt{6x+4} > \sqrt{3x+10}$ и $\sqrt{5x+6} > \sqrt{2x+12}$. Следовательно, правый знаменатель больше левого, и равенство невозможно.
При $-\frac{2}{3} \le x < 2$: $6x+4 < 3x+10$ и $5x+6 < 2x+12$. Правый знаменатель меньше левого, равенство также невозможно.
Таким образом, выражение в скобках не может быть равно нулю при $x \ne 2$.

Ответ: $x=2$.

6) $\sqrt{2x+7} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x+3}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 2x+7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3.5 \\ x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3 \end{cases} \Rightarrow x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+7} + \sqrt{x})^2 = (2\sqrt{x+3})^2$
$(2x+7) + 2\sqrt{x(2x+7)} + x = 4(x+3)$
$3x+7 + 2\sqrt{2x^2+7x} = 4x+12$

Уединим оставшийся корень:
$2\sqrt{2x^2+7x} = 4x+12 - 3x - 7$
$2\sqrt{2x^2+7x} = x+5$

По ОДЗ $x \ge 0$, поэтому правая часть $x+5$ всегда положительна. Снова возводим в квадрат:
$(2\sqrt{2x^2+7x})^2 = (x+5)^2$
$4(2x^2+7x) = x^2+10x+25$
$8x^2+28x = x^2+10x+25$
$7x^2+18x-25 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25) = 324 + 700 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{-18-32}{2 \cdot 7} = \frac{-50}{14} = -\frac{25}{7}$
$x_2 = \frac{-18+32}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 0$).
$x_1 = -\frac{25}{7}$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Проверка для $x=1$:
Левая часть: $\sqrt{2\cdot1+7} + \sqrt{1} = \sqrt{9}+1 = 3+1=4$.
Правая часть: $2\sqrt{1+3} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$.