Номер 131, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 8x - 14} = x - 4;$

2) $\sqrt{x^2 + 2x + 6} = 2x + 1;$

3) $\sqrt{8 - 5x - 2x^2} = x - 2;$

4) $\sqrt{x + 5} = x + 1.$

1) Решим уравнение $\sqrt{-x^2 + 8x - 14} = x - 4$.

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения, и неравенства, которое обеспечивает неотрицательность правой части (а следовательно, и подкоренного выражения).

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ -x^2 + 8x - 14 = (x-4)^2 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

Теперь решим уравнение:

$-x^2 + 8x - 14 = x^2 - 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию ($3 < 4$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 4$), следовательно, это решение уравнения.

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x^2 + 2x + 6} = 2x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + 6 = (2x+1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

Решим уравнение:

$x^2 + 2x + 6 = 4x^2 + 4x + 1$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -0.5$.

Корень $x_1 = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Так как $-1.67 < -0.5$, этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = 1$. Так как $1 \ge -0.5$, этот корень является решением.

Ответ: $1$.

3) Решим уравнение $\sqrt{8 - 5x - 2x^2} = x - 2$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 8 - 5x - 2x^2 = (x - 2)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$8 - 5x - 2x^2 = x^2 - 4x + 4$

$3x^2 + x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < 2$.

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 2$.

Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

4) Решим уравнение $\sqrt{x + 5} = x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 5 = (x+1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Решим уравнение:

$x + 5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1$.

Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$, то $-1 - \sqrt{17} < -1 - 4 = -5$. Следовательно, $\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} < \frac{-5}{2} = -2.5$. Поскольку $-2.5 < -1$, корень $x_1$ является посторонним.

Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $-1 + \sqrt{17} > 0$, и $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} > 0$. Поскольку $0 > -1$, корень $x_2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.