Номер 135, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x};$

2) $\sqrt{2x - 1} < \sqrt{x - 4};$

3) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} < \sqrt{4x - 14};$

4) $\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \ge \sqrt{-x^2 - 4x}.$

1) $\sqrt{3x-10} > \sqrt{6-x}$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны в области определения:

$\begin{cases} 3x - 10 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \\ 3x - 10 > 6 - x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 10 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 10 \Rightarrow x \ge \frac{10}{3}$

2) $6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$

3) $3x - 10 > 6 - x \Rightarrow 4x > 16 \Rightarrow x > 4$

Найдем пересечение решений. На числовой оси отметим все три условия: $x \ge \frac{10}{3}$, $x \le 6$ и $x > 4$. Так как $4 > \frac{10}{3}$, то условие $x>4$ является более строгим, чем $x \ge \frac{10}{3}$.

Таким образом, общее решение системы есть пересечение $x > 4$ и $x \le 6$, что дает $4 < x \le 6$.

Ответ: $(4; 6]$.

2) $\sqrt{2x-1} < \sqrt{x-4}$

Неравенство равносильно системе, включающей условия существования корней и результат возведения в квадрат обеих неотрицательных частей:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ 2x - 1 < x - 4 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$

2) $x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$

3) $2x - 1 < x - 4 \Rightarrow x < -3$

Необходимо найти пересечение трех множеств: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$, $x \in [4; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -3)$. Пересечение первых двух множеств дает $x \in [4; +\infty)$. Это множество не имеет общих точек с множеством $(-\infty; -3)$.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

3) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} < \sqrt{4x - 14}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 4x - 14 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 6 < 4x - 14 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.

2) $4x - 14 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 14 \Rightarrow x \ge 3,5$.

3) $x^2 - 5x + 6 < 4x - 14 \Rightarrow x^2 - 9x + 20 < 0$. Корни трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1=4$ и $x_2=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (4; 5)$.

Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty; 2] \cup [3; \infty)) \cap [3,5; \infty) \cap (4; 5)$.

Пересечение $[3,5; \infty)$ и $(4; 5)$ дает интервал $(4; 5)$.

Этот интервал $(4; 5)$ полностью содержится в множестве $(-\infty; 2] \cup [3; \infty)$, так как он является частью луча $[3; \infty)$.

Следовательно, решением системы является интервал $(4; 5)$.

Ответ: $(4; 5)$.

4) $\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \ge \sqrt{-x^2 - 4x}$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2 + 6x + 3 \ge 0 \\ -x^2 - 4x \ge 0 \\ 2x^2 + 6x + 3 \ge -x^2 - 4x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x^2 + 6x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 6x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$.

2) $-x^2 - 4x \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4x \le 0 \Rightarrow x(x+4) \le 0$. Корни $x=0$ и $x=-4$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in [-4; 0]$.

3) $2x^2 + 6x + 3 \ge -x^2 - 4x \Rightarrow 3x^2 + 10x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{3}; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений. Сначала найдем пересечение решений 2) и 3):

$[-4; 0] \cap ((-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{3}; \infty)) = [-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0]$.

Теперь пересечем полученное множество с решением 1). Сравним значения: $\frac{-3 - \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-3 - 1,73}{2} \approx -2,365$. Это значение больше -3. $\frac{-3 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-3 + 1,73}{2} \approx -0,635$. Это значение меньше $-\frac{1}{3} \approx -0,333$.

Пересечение отрезка $[-4; -3]$ с множеством $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$ дает отрезок $[-4; -3]$, так как $-3 < \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$.

Пересечение отрезка $[-\frac{1}{3}; 0]$ с множеством $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; \infty)$ дает отрезок $[-\frac{1}{3}; 0]$, так как $-\frac{1}{3} > \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $[-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0]$.