Номер 130, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x-3} = \sqrt[10]{1-x};$

2) $\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{x-2} = \sqrt{7};$

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{21-3x} = 2x;$

4) $\sqrt{3x-5} = \frac{x-1}{\sqrt{x-2}};$

1) $\sqrt[4]{2x - 3} = \sqrt[10]{1 - x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x \ge 3 \\ -x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$

Система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 1.5 и меньше или равно 1. Следовательно, область допустимых значений является пустым множеством.

Так как ОДЗ пуста, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{x - 2} = \sqrt{7}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для $a \ge 0, b \ge 0$, объединим корни в левой части уравнения:

$\sqrt{(x + 4)(x - 2)} = \sqrt{7}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(x + 4)(x - 2) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 4x - 8 = 7$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 2$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 2$), поэтому является посторонним корнем.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 3.

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{21 - 3x} = 2x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 21 - 3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 21 \ge 3x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 7 \ge x \end{cases} \implies 0 \le x \le 7$.

Также заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже учтено в ОДЗ.

Объединим корни в левой части:

$\sqrt{x(21 - 3x)} = 2x$

Возведем обе части в квадрат:

$x(21 - 3x) = (2x)^2$

$21x - 3x^2 = 4x^2$

$7x^2 - 21x = 0$

Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$7x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($0 \le 0 \le 7$ и $0 \le 3 \le 7$). Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

При $x=0$: $\sqrt{0} \cdot \sqrt{21 - 3 \cdot 0} = 2 \cdot 0 \implies 0 \cdot \sqrt{21} = 0 \implies 0 = 0$. Корень подходит.

При $x=3$: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{21 - 3 \cdot 3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$. Правая часть: $2 \cdot 3 = 6$. Равенство $6 = 6$ верное, корень подходит.

Ответ: 0; 3.

4) $\sqrt{3x - 5} = \frac{x - 1}{\sqrt{x - 2}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$ (знак строгий, так как корень находится в знаменателе).

$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

При $x > 2$ все части уравнения имеют смысл и являются положительными. Умножим обе части на $\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{3x - 5} \cdot \sqrt{x - 2} = x - 1$

$\sqrt{(3x - 5)(x - 2)} = x - 1$

Возведем обе части в квадрат:

$(3x - 5)(x - 2) = (x - 1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).

$x_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию ($1.5 \ngtr 2$), является посторонним корнем.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 3.