Номер 137, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+33} > x+3;$

2) $\sqrt{16-5x} \ge x-2;$

3) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3;$

4) $\sqrt{-x^2-2x+8} \ge x+4.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x+33} > x+3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = x+33$ и $g(x) = x+3$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x+3 < 0 \\ x+33 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \geq -33 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-33, -3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ x+33 > (x+3)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x+33 > x^2 + 6x + 9$

$0 > x^2 + 5x - 24$

$x^2 + 5x - 24 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.

Поскольку парабола $y = x^2 + 5x - 24$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 5x - 24 < 0$ выполняется при $x \in (-8, 3)$.

Теперь найдем решение второй системы, объединив условия:

$\begin{cases} x \geq -3 \\ -8 < x < 3 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-3, 3)$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$[-33, -3) \cup [-3, 3) = [-33, 3)$.

Ответ: $x \in [-33, 3)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{16-5x} \geq x-2$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$, оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 16-5x$ и $g(x) = x-2$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x-2 < 0 \\ 16-5x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 16 \geq 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \leq 3.2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 2)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 16-5x \geq (x-2)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$16-5x \geq x^2 - 4x + 4$

$0 \geq x^2 + x - 12$

$x^2 + x - 12 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-12) = 49$. Корни $x_1 = \frac{-1-7}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-1+7}{2} = 3$.

Решением неравенства $x^2 + x - 12 \leq 0$ является отрезок $[-4, 3]$.

Теперь найдем решение второй системы, объединив условия:

$\begin{cases} x \geq 2 \\ -4 \leq x \leq 3 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [2, 3]$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$(-\infty, 2) \cup [2, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x^2+4x-5 \geq 0$

Корнями уравнения $x^2+4x-5=0$ являются $x_1=-5$ и $x_2=1$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем (с учетом ОДЗ):

а) $\begin{cases} x-3 < 0 \\ x^2+4x-5 \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x^2+4x-5 > (x-3)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty) \end{cases}$

Решением этой системы является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [1, 3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \geq 3 \\ x^2+4x-5 > x^2-6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 3 \\ 10x > 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 3 \\ x > 1.4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [3, \infty)$. Это решение входит в ОДЗ.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем:

$(-\infty, -5] \cup [1, 3) \cup [3, \infty) = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{-x^2-2x+8} \geq x+4$.

Найдем ОДЗ: $-x^2-2x+8 \geq 0 \implies x^2+2x-8 \leq 0$.

Корнями уравнения $x^2+2x-8=0$ являются $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем (с учетом ОДЗ):

а) $\begin{cases} x+4 < 0 \\ -x^2-2x+8 \geq 0 \end{cases}$ и б) $\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ -x^2-2x+8 \geq (x+4)^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x < -4 \\ x \in [-4, 2] \end{cases}$

Эта система не имеет решений.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ -x^2-2x+8 \geq x^2+8x+16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -4 \\ 0 \geq 2x^2+10x+8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -4 \\ x^2+5x+4 \leq 0 \end{cases}$

Решим неравенство $x^2+5x+4 \leq 0$. Корни уравнения $x^2+5x+4=0$ равны $x_1=-4$ и $x_2=-1$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-4, -1]$.

Найдем решение второй системы, объединив условия и ОДЗ:

$\begin{cases} x \geq -4 \\ x \in [-4, -1] \\ x \in [-4, 2] \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $x \in [-4, -1]$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений обеих систем, то есть решение второй системы.

Ответ: $x \in [-4, -1]$.