Номер 139, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $a\sqrt{x-2} < 1;$

2) $(a+1)\sqrt{2-x} \ge 1.$

1) $a\sqrt{x-2} < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-2} < 1$, что равносильно $0 < 1$. Это верное неравенство для любого $x$ из ОДЗ. Следовательно, решение: $x \in [2; +\infty)$.

Случай 2: $a < 0$.
Левая часть неравенства $a\sqrt{x-2}$ является произведением отрицательного числа $a$ и неотрицательного $\sqrt{x-2}$, поэтому $a\sqrt{x-2} \le 0$. Любое неположительное число меньше 1, поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, решение: $x \in [2; +\infty)$.

Объединяя первые два случая, получаем, что при $a \le 0$ решением является $x \in [2; +\infty)$.

Случай 3: $a > 0$.
Разделим обе части неравенства на положительное число $a$: $\sqrt{x-2} < \frac{1}{a}$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $x-2 < \left(\frac{1}{a}\right)^2$
$x-2 < \frac{1}{a^2}$
$x < 2 + \frac{1}{a^2}$.
Учитывая ОДЗ $x \ge 2$, получаем итоговое решение для этого случая: $2 \le x < 2 + \frac{1}{a^2}$.

Ответ: при $a \le 0$ решение $x \in [2; +\infty)$; при $a > 0$ решение $x \in [2; 2 + \frac{1}{a^2})$.

2) $(a+1)\sqrt{2-x} \ge 1$

ОДЗ: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $a+1$.

Случай 1: $a+1 \le 0$, то есть $a \le -1$.
В этом случае множитель $a+1$ неположителен, а $\sqrt{2-x}$ неотрицателен. Их произведение $(a+1)\sqrt{2-x}$ будет неположительным (меньше или равно нулю). Неравенство "неположительное число $\ge 1$" никогда не выполняется. Следовательно, при $a \le -1$ решений нет.

Случай 2: $a+1 > 0$, то есть $a > -1$.
Разделим обе части неравенства на положительное число $a+1$: $\sqrt{2-x} \ge \frac{1}{a+1}$.
Поскольку обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $2-x \ge \frac{1}{(a+1)^2}$.
Выразим $x$: $-x \ge \frac{1}{(a+1)^2} - 2$
$x \le 2 - \frac{1}{(a+1)^2}$.
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \le 2$), так как $2 - \frac{1}{(a+1)^2} < 2$.

Ответ: при $a \le -1$ решений нет; при $a > -1$ решение $x \in (-\infty; 2 - \frac{1}{(a+1)^2}]$.