Номер 145, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точ-ку $P_0(-1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1)$;

2) $(1; 0)$;

3) $(0; -1)$;

4) $(-1; 0)$.

Для решения задачи воспользуемся единичной окружностью. Начальная точка $P_0(-1; 0)$ расположена на отрицательной части оси Ox и соответствует углу $\pi$ радиан (или $180^\circ$). Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Общий подход заключается в определении угла $\alpha_f$, соответствующего конечной точке, и вычислении угла поворота $\alpha$ по формуле $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k$, где $\alpha_0 = \pi$ - начальный угол, а $k$ — любое целое число, отвечающее за количество полных оборотов. Затем для каждого случая мы найдем наименьшее положительное значение $\alpha$ (при наименьшем целом $k$, для которого $\alpha > 0$) и наибольшее отрицательное значение $\alpha$ (при наибольшем целом $k$, для которого $\alpha < 0$).

1) (0; 1)

Конечная точка $P_1(0; 1)$ находится на положительной части оси Oy и соответствует углу $\alpha_f = \frac{\pi}{2}$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{\pi}{2} - \pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
- Чтобы найти наименьший положительный угол, ищем наименьшее целое $k$, при котором $\alpha > 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > \frac{\pi}{2} \Rightarrow k > \frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $k$ в этом случае — $k=1$. Угол поворота: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
- Чтобы найти наибольший отрицательный угол, ищем наибольшее целое $k$, при котором $\alpha < 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < \frac{\pi}{2} \Rightarrow k < \frac{1}{4}$.
Наибольшее целое $k$ в этом случае — $k=0$. Угол поворота: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол $\frac{3\pi}{2}$, наибольший отрицательный угол $-\frac{\pi}{2}$.

2) (1; 0)

Конечная точка $P_2(1; 0)$ находится на положительной части оси Ox и соответствует углу $\alpha_f = 0$ (или $2\pi$). Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = 0 - \pi + 2\pi k = -\pi + 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$-\pi + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > \pi \Rightarrow k > \frac{1}{2}$.
Наименьшее целое $k=1$. Угол поворота: $\alpha = -\pi + 2\pi \cdot 1 = \pi$.
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$-\pi + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < \pi \Rightarrow k < \frac{1}{2}$.
Наибольшее целое $k=0$. Угол поворота: $\alpha = -\pi + 2\pi \cdot 0 = -\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол $\pi$, наибольший отрицательный угол $-\pi$.

3) (0; -1)

Конечная точка $P_3(0; -1)$ находится на отрицательной части оси Oy и соответствует углу $\alpha_f = \frac{3\pi}{2}$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} - \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > -\frac{\pi}{2} \Rightarrow k > -\frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $k=0$. Угол поворота: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < -\frac{\pi}{2} \Rightarrow k < -\frac{1}{4}$.
Наибольшее целое $k=-1$. Угол поворота: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол $\frac{\pi}{2}$, наибольший отрицательный угол $-\frac{3\pi}{2}$.

4) (-1; 0)

Конечная точка $P_4(-1; 0)$ совпадает с начальной и соответствует углу $\alpha_f = \pi$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \pi - \pi + 2\pi k = 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$2\pi k > 0 \Rightarrow k > 0$.
Наименьшее целое $k=1$. Угол поворота: $\alpha = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. (Угол $0$ не является положительным).
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$2\pi k < 0 \Rightarrow k < 0$.
Наибольшее целое $k=-1$. Угол поворота: $\alpha = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол $2\pi$, наибольший отрицательный угол $-2\pi$.