Номер 147, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k;$

2) $-\frac{\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

4) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам:

$x = \cos(\alpha)$

$y = \sin(\alpha)$

Рассмотрим каждый случай.

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Функции синус и косинус имеют период $2\pi$, поэтому прибавление к углу $2\pi k$ (где $k$ — целое число) не изменяет положение точки на окружности. Таким образом, координаты точки будут такими же, как и при повороте на угол $\frac{\pi}{3}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, для любого целого $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

2) $-\frac{\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 4\pi k$.

Поскольку $4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$, это также соответствует целому числу полных оборотов, и положение точки на окружности определяется только углом $-\frac{\pi}{4}$.

$x = \cos(-\frac{\pi}{4} + 4\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{4})$

$y = \sin(-\frac{\pi}{4} + 4\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$):

$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

3) $\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точек для угла $\alpha = \pi + \pi k$. В этом случае положение точки зависит от четности $k$.

Если $k$ — четное число ($k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то угол равен $\alpha = \pi + 2\pi n$.

$x = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$

Получаем точку $(-1; 0)$.

Если $k$ — нечетное число ($k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то угол равен $\alpha = \pi + \pi(2n + 1) = 2\pi + 2\pi n = 2\pi(n+1)$.

$x = \cos(2\pi(n+1)) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi(n+1)) = \sin(0) = 0$

Получаем точку $(1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$

4) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точек для угла $\alpha = \frac{\pi k}{4}$. Положение точки на единичной окружности повторяется с периодом $2\pi$. Найдем, при каком $k$ произойдет полный оборот: $\frac{\pi k}{4} = 2\pi \implies k = 8$. Это означает, что мы получим 8 различных точек для $k$ от 0 до 7. Для других значений $k$ точки будут повторяться.

Вычислим координаты для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$:

При $k=0$: $(\cos(0), \sin(0)) = (1, 0)$

При $k=1$: $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=2$: $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$

При $k=3$: $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=4$: $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$

При $k=5$: $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=6$: $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$

При $k=7$: $(\cos(\frac{7\pi}{4}), \sin(\frac{7\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; 1)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; -1)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$