Номер 154, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{4+\cos5x}$;

2) $3-2|\cos3x|$;

3) $\frac{1}{\sin4x-1}$;

4) $\operatorname{tg}^6x-4$.

1) Чтобы найти область значений выражения $ \frac{1}{4 + \cos5x} $, сначала определим область значений знаменателя.

Область значений функции косинус: $ -1 \le \cos5x \le 1 $.

Прибавим 4 ко всем частям двойного неравенства:

$ 4 - 1 \le 4 + \cos5x \le 4 + 1 $

$ 3 \le 4 + \cos5x \le 5 $

Знаменатель $ 4 + \cos5x $ принимает значения от 3 до 5 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби. Наибольшее значение дроби будет при наименьшем значении знаменателя, а наименьшее — при наибольшем.

Наименьшее значение выражения: $ \frac{1}{5} $ (при $ 4 + \cos5x = 5 $).

Наибольшее значение выражения: $ \frac{1}{3} $ (при $ 4 + \cos5x = 3 $).

Таким образом, область значений выражения — это отрезок $ [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}] $.

Ответ: $ [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}] $.

2) Рассмотрим выражение $ 3 - 2|\cos3x| $.

Область значений функции косинус: $ -1 \le \cos3x \le 1 $.

Применяя модуль, получаем: $ 0 \le |\cos3x| \le 1 $.

Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ 1 \cdot (-2) \le -2|\cos3x| \le 0 \cdot (-2) $

$ -2 \le -2|\cos3x| \le 0 $

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$ 3 - 2 \le 3 - 2|\cos3x| \le 3 + 0 $

$ 1 \le 3 - 2|\cos3x| \le 3 $

Следовательно, область значений выражения — это отрезок $ [1; 3] $.

Ответ: $ [1; 3] $.

3) Рассмотрим выражение $ \frac{1}{\sin4x - 1} $.

Область значений функции синус: $ -1 \le \sin4x \le 1 $.

Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:

$ -1 - 1 \le \sin4x - 1 \le 1 - 1 $

$ -2 \le \sin4x - 1 \le 0 $

Знаменатель дроби $ \sin4x - 1 $ не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Это означает, что $ \sin4x \ne 1 $.

Таким образом, знаменатель принимает значения из полуинтервала $ [-2; 0) $.

Когда знаменатель принимает наименьшее значение, равное -2, всё выражение принимает наибольшее значение: $ \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.

Когда значение знаменателя стремится к нулю, оставаясь отрицательным (например, -0.1, -0.01, ...), значение дроби стремится к минус бесконечности.

Следовательно, область значений выражения — это луч $ (-\infty; -\frac{1}{2}] $.

Ответ: $ (-\infty; -\frac{1}{2}] $.

4) Рассмотрим выражение $ \text{tg}^6 x - 4 $.

Область значений функции тангенс $ \text{tg} \, x $ — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $.

Возведение в четную степень (в данном случае в 6-ю) любого действительного числа дает неотрицательный результат. Таким образом, область значений выражения $ \text{tg}^6 x $ — это луч $ [0; +\infty) $.

$ 0 \le \text{tg}^6 x < +\infty $

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:

$ 0 - 4 \le \text{tg}^6 x - 4 < +\infty - 4 $

$ -4 \le \text{tg}^6 x - 4 < +\infty $

Следовательно, область значений выражения — это луч $ [-4; +\infty) $.

Ответ: $ [-4; +\infty) $.