Номер 161, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 750^{\circ} $;

2) $ \cos 840^{\circ} $;

3) $ \operatorname{tg} 510^{\circ} $;

4) $ \operatorname{ctg} (-405^{\circ}) $;

5) $ \sin \frac{11\pi}{6} $;

6) $ \operatorname{tg}\left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

1) Для нахождения значения $\sin 750^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$.
Выделим целое число полных оборотов ($360^\circ$) в угле $750^\circ$:
$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.
Используя свойство периодичности $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin \alpha$, где $k$ - целое число, получаем:
$\sin 750^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 840^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.
Выделим целое число полных оборотов в угле $840^\circ$:
$840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ$.
Следовательно, $\cos 840^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ$.
Для вычисления $\cos 120^\circ$ используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\text{tg} 510^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$.
Выделим целое число периодов в угле $510^\circ$:
$510^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 150^\circ$.
Следовательно, $\text{tg} 510^\circ = \text{tg}(2 \cdot 180^\circ + 150^\circ) = \text{tg} 150^\circ$.
Для вычисления $\text{tg} 150^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$:
$\text{tg} 150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg} 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Функция котангенс является нечетной, поэтому $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Период котангенса равен $180^\circ$ (или $360^\circ$ как два периода).
$\text{ctg}(-405^\circ) = -\text{ctg}(405^\circ)$.
Выделим целое число периодов в угле $405^\circ$:
$405^\circ = 360^\circ + 45^\circ$.
Следовательно, $\text{ctg}(405^\circ) = \text{ctg}(360^\circ + 45^\circ) = \text{ctg} 45^\circ = 1$.
Тогда $\text{ctg}(-405^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

5) Для нахождения значения $\sin \frac{11\pi}{6}$ используем формулу приведения. Представим угол в удобном виде:
$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.
Используя формулу $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$, получаем:
$\sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

6) Для нахождения значения $\text{tg}(-\frac{17\pi}{3})$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $\pi$.
Можно прибавить к аргументу целое число периодов, чтобы упростить выражение. Добавим $6\pi$, так как $6\pi = \frac{18\pi}{3}$ и это целое число периодов ($k=6$).
$\text{tg}(-\frac{17\pi}{3}) = \text{tg}(-\frac{17\pi}{3} + 6\pi) = \text{tg}(-\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
$\text{tg}(-\frac{17\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.