Номер 155, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Какой знак имеет:

1) $\sin140^\circ$;

2) $\cos320^\circ$;

3) $\operatorname{tg}200^\circ$;

4) $\operatorname{ctg}(-84^\circ)$;

5) $\sin2$;

6) $\operatorname{tg}\frac{11\pi}{6}$?

1) sin140°

Чтобы определить знак $sin140°$, необходимо установить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол $140°$.
Границы четвертей:
I четверть: от $0°$ до $90°$.
II четверть: от $90°$ до $180°$.
III четверть: от $180°$ до $270°$.
IV четверть: от $270°$ до $360°$.
Поскольку выполняется неравенство $90° < 140° < 180°$, угол $140°$ находится во второй четверти. Во второй четверти значения синуса положительны.
Ответ: знак плюс (+).

2) cos320°

Определим, в какой четверти находится угол $320°$.
Поскольку выполняется неравенство $270° < 320° < 360°$, угол $320°$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти значения косинуса положительны.
Ответ: знак плюс (+).

3) tg200°

Определим, в какой четверти находится угол $200°$.
Поскольку выполняется неравенство $180° < 200° < 270°$, угол $200°$ находится в третьей четверти. В третьей четверти значения тангенса (и котангенса) положительны.
Ответ: знак плюс (+).

4) ctg(-84°)

Существует два способа определить знак этого выражения.
Способ 1: Использовать свойство нечетности котангенса.
Функция котангенса является нечетной, то есть $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Следовательно, $ctg(-84°) = -ctg(84°)$. Угол $84°$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Значит, выражение $-ctg(84°)$ будет отрицательным.
Способ 2: Определить четверть для угла $-84°$.
Отрицательные углы откладываются по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс. Угол $-84°$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти котангенс отрицателен (так как $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, а в IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен).
Ответ: знак минус (–).

5) sin2

Если у угла не указана единица измерения, по умолчанию он считается в радианах. Чтобы определить знак $sin2$, сравним значение $2$ с границами четвертей, выраженными в радианах, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Границы четвертей в радианах: $0$, $\pi/2 \approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $3\pi/2 \approx 4,71$.
Поскольку $1,57 < 2 < 3,14$, то есть $\pi/2 < 2 < \pi$, угол в $2$ радиана находится во второй четверти. Во второй четверти синус имеет положительный знак.
Ответ: знак плюс (+).

6) tg(11π/6)

Определим, в какой четверти находится угол $11\pi/6$.
Представим границы четвертей со знаменателем 6:
$3\pi/2 = 9\pi/6$.
$2\pi = 12\pi/6$.
Поскольку $9\pi/6 < 11\pi/6 < 12\pi/6$, то есть $3\pi/2 < 11\pi/6 < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти. В четвертой четверти тангенс имеет отрицательный знак.
Альтернативно, можно записать $11\pi/6 = 2\pi - \pi/6$. Это также показывает, что угол находится в четвертой четверти.
Ответ: знак минус (–).