Номер 152, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin\alpha$;

2) $\cos^2 \alpha - 5$;

3) $\frac{\cos \alpha(1-\sin \alpha)}{\cos \alpha}$.

1)

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $1 + 3\sin\alpha$, воспользуемся известным свойством функции синус. Значения синуса любого угла $\alpha$ находятся в промежутке от -1 до 1 включительно:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 3:

$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \sin\alpha \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-3 + 1 \le 1 + 3\sin\alpha \le 3 + 1$

$-2 \le 1 + 3\sin\alpha \le 4$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 4.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 4.

2)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $\cos^2\alpha - 5$ сначала определим диапазон значений для $\cos^2\alpha$.

Значения функции косинус, $\cos\alpha$, лежат в промежутке от -1 до 1:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

При возведении в квадрат любого числа из этого промежутка, результат будет неотрицательным и не превысит 1. Таким образом, значения $\cos^2\alpha$ находятся в промежутке от 0 до 1:

$0 \le \cos^2\alpha \le 1$

Теперь вычтем 5 из всех частей этого неравенства:

$0 - 5 \le \cos^2\alpha - 5 \le 1 - 5$

$-5 \le \cos^2\alpha - 5 \le -4$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -5, а наибольшее — -4.

Ответ: наименьшее значение -5, наибольшее значение -4.

3)

Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому:

$\cos\alpha \ne 0$

При этом условии мы можем сократить дробь на $\cos\alpha$:

$\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha} = 1 - \sin\alpha$

Теперь найдем диапазон значений выражения $1 - \sin\alpha$ с учетом ОДЗ.

Общее свойство синуса: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Однако, наше условие ОДЗ $\cos\alpha \ne 0$ означает, что $\alpha$ не может принимать значения, при которых синус равен 1 или -1 (так как если $\sin\alpha = \pm 1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 0$, то есть $\cos\alpha = 0$).

Следовательно, для данного выражения значение $\sin\alpha$ должно удовлетворять строгому неравенству:

$-1 < \sin\alpha < 1$

Найдем диапазон для $1 - \sin\alpha$. Умножим неравенство на -1 (знаки неравенства изменятся):

$1 > -\sin\alpha > -1$

Прибавим 1 ко всем частям:

$1 + 1 > 1 - \sin\alpha > 1 - 1$

$2 > 1 - \sin\alpha > 0$

Это означает, что значения выражения строго больше 0 и строго меньше 2. Выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к 0 и 2, но никогда не достигает их. Таким образом, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: у выражения нет наибольшего и наименьшего значений.