Номер 158, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Сравните:

1) $\cos 40^\circ$ и $\sin 240^\circ$;

2) $\tan 160^\circ$ и $\cot (-160^\circ)$;

3) $\sin \frac{17\pi}{10}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$;

4) $\tan 5$ и $\sin 2.5$.

1) cos 40° и sin 240°
Для сравнения значений определим их знаки. Угол $40°$ находится в первой координатной четверти ($0° < 40° < 90°$). В этой четверти косинус положителен, следовательно, $cos 40° > 0$.
Угол $240°$ находится в третьей координатной четверти ($180° < 240° < 270°$). В этой четверти синус отрицателен, следовательно, $sin 240° < 0$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $cos 40° > sin 240°$.
Ответ: $cos 40° > sin 240°$.

2) tg 160° и ctg (−160°)
Определим знаки данных выражений. Угол $160°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 160° < 180°$). В этой четверти тангенс отрицателен, значит, $tg 160° < 0$.
Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-α) = -ctg(α)$. Применим это свойство: $ctg(-160°) = -ctg(160°)$.
Угол $160°$ находится во второй четверти, где котангенс также отрицателен ($ctg 160° < 0$).
Следовательно, выражение $-ctg(160°)$ будет положительным, то есть $ctg(-160°) > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg 160°$ и положительное число $ctg(-160°)$, получаем, что $tg 160° < ctg(-160°)$.
Ответ: $tg 160° < ctg(-160°)$.

3) sin (17π/10) и cos (3π/10)
Сначала определим знаки выражений. Угол $\frac{3\pi}{10}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{3}{10} < \frac{5}{10}$). Косинус в первой четверти положителен, значит $cos\frac{3\pi}{10} > 0$.
Угол $\frac{17\pi}{10}$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{17\pi}{10} < 2\pi$ (поскольку $\frac{15}{10} < \frac{17}{10} < \frac{20}{10}$). Синус в четвертой четверти отрицателен, значит $sin\frac{17\pi}{10} < 0$.
Сравнивая отрицательное число с положительным, получаем $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.
Альтернативный способ:
Используем формулу приведения: $sin\frac{17\pi}{10} = sin(\frac{15\pi}{10} + \frac{2\pi}{10}) = sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $-cos\frac{\pi}{5}$ и $cos\frac{3\pi}{10}$. Углы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$ оба в первой четверти, их косинусы положительны. Значит, $-cos\frac{\pi}{5} < 0$, а $cos\frac{3\pi}{10} > 0$. Следовательно, $-cos\frac{\pi}{5} < cos\frac{3\pi}{10}$, что означает $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.
Ответ: $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.

4) tg 5 и sin 2,5
Определим, в каких четвертях находятся углы 5 радиан и 2,5 радиана. Для этого используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.
Для угла 5 радиан выполняется неравенство $4,71 < 5 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть. Тангенс в четвертой четверти отрицателен, поэтому $tg 5 < 0$.
Для угла 2,5 радиана выполняется неравенство $1,57 < 2,5 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2,5 < \pi$. Это вторая координатная четверть. Синус во второй четверти положителен, поэтому $sin 2,5 > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg 5$ и положительное число $sin 2,5$, получаем $tg 5 < sin 2,5$.
Ответ: $tg 5 < sin 2,5$.