Номер 164, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \sin \frac{x}{3}$, $T = 6\pi$

2) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{5}$, $T = 5$

3) $f(x) = \left|\operatorname{ctg} \frac{x}{6}\right|$, $T = 3\pi$

4) $f(x) = \cos^8 6x$, $T = \frac{\pi}{6}$

Для того чтобы показать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо убедиться, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $f(x) = \sin\frac{x}{3}$, $T = 6\pi$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 6\pi) = \sin\frac{x + 6\pi}{3} = \sin(\frac{x}{3} + \frac{6\pi}{3}) = \sin(\frac{x}{3} + 2\pi)$. Поскольку функция синус периодична с основным периодом $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$. Следовательно, $\sin(\frac{x}{3} + 2\pi) = \sin\frac{x}{3} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$, значит, $T = 6\pi$ является периодом данной функции. Ответ: $T = 6\pi$ является периодом, так как $f(x + 6\pi) = \sin(\frac{x+6\pi}{3}) = \sin(\frac{x}{3} + 2\pi) = \sin\frac{x}{3} = f(x)$.

2) $f(x) = \text{tg}\frac{\pi x}{5}$, $T = 5$

Область определения функции задается условием $\frac{\pi x}{5} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 5) = \text{tg}\frac{\pi(x + 5)}{5} = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \frac{5\pi}{5}) = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi)$. Поскольку функция тангенс периодична с основным периодом $\pi$, то $\text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}\alpha$. Следовательно, $\text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi) = \text{tg}\frac{\pi x}{5} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения, значит, $T = 5$ является периодом данной функции. Ответ: $T = 5$ является периодом, так как $f(x + 5) = \text{tg}(\frac{\pi(x+5)}{5}) = \text{tg}(\frac{\pi x}{5} + \pi) = \text{tg}\frac{\pi x}{5} = f(x)$.

3) $f(x) = |\text{ctg}\frac{x}{6}|$, $T = 3\pi$

Область определения функции задается условием $\frac{x}{6} \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + 3\pi) = |\text{ctg}\frac{x + 3\pi}{6}| = |\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{3\pi}{6})| = |\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{2})|$. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\text{tg}\alpha$, получаем: $|\text{ctg}(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{2})| = |-\text{tg}\frac{x}{6}| = |\text{tg}\frac{x}{6}|$. Таким образом, равенство $f(x+T)=f(x)$ свелось бы к тождеству $|\text{ctg}\frac{x}{6}| = |\text{tg}\frac{x}{6}|$, которое в общем случае неверно. Приведем контрпример. Пусть $x = \pi$: $f(\pi) = |\text{ctg}(\frac{\pi}{6})| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$. $f(\pi+3\pi) = f(4\pi) = |\text{ctg}(\frac{4\pi}{6})| = |\text{ctg}(\frac{2\pi}{3})| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Поскольку $f(\pi) \neq f(\pi+3\pi)$, число $T=3\pi$ не является периодом функции. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка (наименьший положительный период данной функции равен $6\pi$). Ответ: Число $T=3\pi$ не является периодом функции, так как в общем случае $f(x+3\pi) \neq f(x)$. Например, $f(\pi)=\sqrt{3}$, а $f(\pi+3\pi)=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

4) $f(x) = \cos^8 6x$, $T = \frac{\pi}{6}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$. Проверим выполнение условия периодичности $f(x+T) = f(x)$: $f(x + \frac{\pi}{6}) = \cos^8(6(x + \frac{\pi}{6})) = \cos^8(6x + \frac{6\pi}{6}) = \cos^8(6x + \pi)$. Выражение $\cos^8(6x + \pi)$ равно $(\cos(6x + \pi))^8$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$, получаем: $(\cos(6x + \pi))^8 = (-\cos 6x)^8$. Так как показатель степени (8) является четным числом, $(-\cos 6x)^8 = \cos^8 6x = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x$, значит, $T = \frac{\pi}{6}$ является периодом данной функции. Ответ: $T = \frac{\pi}{6}$ является периодом, так как $f(x + \frac{\pi}{6}) = \cos^8(6x+\pi) = (-\cos 6x)^8 = \cos^8 6x = f(x)$.