Номер 167, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = \sin x$ необходимо решить уравнение $\sin x = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь нам нужно выбрать те значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$. Для этого решим двойное неравенство:
$\frac{\pi}{4} \le k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$\frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}$
Или в десятичном виде:
$0,25 \le k \le 2,25$
Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются $k=1$ и $k=2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=1$: $x = 1 \cdot \pi = \pi$.
При $k=2$: $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$.
Оба значения принадлежат заданному промежутку $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$.
Ответ: $\pi; 2\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее — -1.

Наибольшее значение:
Функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение, равное 1, в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих точек попадают в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$:
$\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
$\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{9}{4}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{9}{4} - \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{7}{4}$
$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{7}{8}$
Единственное целое число в этом интервале — $k=0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$.
Так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{9\pi}{4}$, то в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция принимает наибольшее значение на данном промежутке.

Наименьшее значение:
Функция $y = \sin x$ принимает наименьшее значение, равное -1, в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих точек попадают в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$:
$\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
$\frac{1}{4} \le \frac{3}{2} + 2k \le \frac{9}{4}$
$\frac{1}{4} - \frac{3}{2} \le 2k \le \frac{9}{4} - \frac{3}{2}$
$-\frac{5}{4} \le 2k \le \frac{3}{4}$
$-\frac{5}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
Единственное целое число в этом интервале — $k=0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{9\pi}{4}$, то в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ функция принимает наименьшее значение на данном промежутке.
Ответ: наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{2}$, наименьшее — при $x = \frac{3\pi}{2}$.