Номер 172, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x + 1,5$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos \frac{x}{3}$;

4) $y = -\frac{1}{2} \cos x$;

5) $y = -\frac{1}{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1,5$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать преобразования базового графика функции $y = \cos x$.

1) $y = \cos x + 1.5$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1,5 единицы вверх.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду).
2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на 1,5 единицы вверх по оси $Oy$.

Свойства функции:

• Область значений: Исходная область значений для $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 1,5 вверх, область значений становится $[-1+1.5, 1+1.5]$, то есть $[0.5, 2.5]$.
• Период функции не изменяется и равен $2\pi$.
• Амплитуда не изменяется и равна 1.

Ключевые точки:

• Максимум: $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, 1+1.5) = (0, 2.5)$.
• Пересечение со средней линией: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 0+1.5) = (\frac{\pi}{2}, 1.5)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi, -1+1.5) = (\pi, 0.5)$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1.5$ — это косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, сдвинутая на 1,5 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Колебания происходят в диапазоне $[0.5, 2.5]$.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево по оси $Ox$.

Свойства функции:

• Область значений: $[-1, 1]$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: 1.
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки:

• Максимум: $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0-\frac{\pi}{4}, 1) = (-\frac{\pi}{4}, 1)$.
• Пересечение с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi-\frac{\pi}{4}, -1) = (\frac{3\pi}{4}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — это косинусоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{4}$ влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = \cos\frac{x}{3}$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси $Ox$ в 3 раза.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. "Растягиваем" этот график от оси $Oy$ в 3 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика умножается на 3, а ордината остается неизменной.

Свойства функции:

• Область значений: $[-1, 1]$.
• Период: Исходный период $2\pi$ умножается на 3, новый период $T = 3 \cdot 2\pi = 6\pi$.
• Амплитуда: 1.

Ключевые точки одного периода:

• Максимум: $(0, 1)$ остается на месте.
• Пересечение с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(3\pi, -1)$.
• Следующий максимум: $(2\pi, 1)$ переходит в $(6\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{3}$ — это косинусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $6\pi$.

4) $y = -\frac{1}{2}\cos x$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим зеркальным отражением относительно оси $Ox$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сжимаем график к оси $Ox$ в 2 раза (умножаем ординаты всех точек на $\frac{1}{2}$). Получаем график $y = \frac{1}{2}\cos x$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$.

Свойства функции:

• Область значений: Амплитуда равна $\frac{1}{2}$, поэтому область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ключевые точки:

• Точка $(0, 1)$ на $y=\cos x$ переходит в $(0, -\frac{1}{2})$ (минимум).
• Точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ остаются на месте (нули функции).
• Точка $(\pi, -1)$ на $y=\cos x$ переходит в $(\pi, \frac{1}{2})$ (максимум).

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos x$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой $\frac{1}{2}$, отраженная относительно оси $Ox$.

5) $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 1.5$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем последовательного применения четырех преобразований:

1. Сдвиг влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$.
2. Сжатие к оси $Ox$ в 2 раза (амплитуда становится $\frac{1}{2}$).
3. Зеркальное отражение относительно оси $Ox$.
4. Сдвиг вверх вдоль оси $Oy$ на 1,5.

Свойства функции:

• Амплитуда: $A = |-\frac{1}{2}| = 0.5$.
• Период: $T = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{4}$ (влево).
• Вертикальный сдвиг: $+1.5$ (вверх).
• Область значений: Колебания происходят вокруг прямой $y=1.5$ с амплитудой 0.5. Таким образом, область значений $[1.5 - 0.5, 1.5 + 0.5]$, то есть $[1, 2]$.

Ключевые точки одного периода:

• Минимум: при $x + \frac{\pi}{4} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$. $y = -\frac{1}{2}(1) + 1.5 = 1$. Точка $(-\frac{\pi}{4}, 1)$.
• Пересечение со средней линией $y=1.5$: при $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1.5)$.
• Максимум: при $x + \frac{\pi}{4} = \pi \implies x = \frac{3\pi}{4}$. $y = -\frac{1}{2}(-1) + 1.5 = 2$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 2)$.
• Пересечение со средней линией $y=1.5$: при $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 1.5$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой $0.5$, сдвинутая на $\frac{\pi}{4}$ влево и на $1.5$ вверх, а также отраженная относительно своей средней линии $y=1.5$. Область значений функции $[1, 2]$.