Номер 174, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. На промежутке $ \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right] $ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x;$

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x.$

1) нули функции $y = \tg x$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \tg x$ нам нужно решить уравнение $\tg x = 0$.

Функция тангенс определяется как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Следовательно, $\tg x = 0$ тогда и только тогда, когда числитель $\sin x = 0$ (при условии, что знаменатель $\cos x \neq 0$, что выполняется для этих значений $x$).

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в формулу $x = \pi n$:

• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{\pi}{4}$.
• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le 0 \le \frac{7\pi}{4}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \pi \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $1\pi \le 1.75\pi$).
• При $n = 2$, $x = 2\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $2\pi > \frac{7\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном промежутке нулями функции являются $0$ и $\pi$.

Ответ: $0; \pi$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \tg x$

Область определения функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ включает все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель $\cos x$ равен нулю.

Нам нужно найти значения $x$, для которых $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$ в формулу $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $-0.25\pi \le 0.5\pi \le 1.75\pi$).
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $-0.25\pi \le 1.5\pi \le 1.75\pi$).
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{5\pi}{2} > \frac{7\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном промежутке в область определения функции не входят числа $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.