Номер 179, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} 3|x|;$

2) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|.$

1) $y = \operatorname{ctg} 3|x|$

Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала рассмотрим функцию $y_1 = \operatorname{ctg} x$. Это стандартный график котангенса с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Далее рассмотрим функцию $y_2 = \operatorname{ctg} (3x)$. Коэффициент 3 при $x$ означает сжатие графика $y_1 = \operatorname{ctg} x$ по горизонтали (к оси $Oy$) в 3 раза. Период этой функции будет $T = \pi/3$. Вертикальные асимптоты будут находиться в точках, где $3x = \pi k$, то есть $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь построим график искомой функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{ctg} 3|-x| = \operatorname{ctg} 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Построение графика функции вида $y = f(|x|)$ выполняется в два шага:

• Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. В нашем случае, при $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{ctg}(3x)$.
• Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси $Oy$.

Итак, алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg}(3x)$ для $x > 0$. Этот график имеет вертикальные асимптоты при $x = \pi/3, 2\pi/3, \pi, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{N}$) и пересекает ось абсцисс в точках $x = \pi/6, \pi/2, 5\pi/6, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ при $n \ge 0$).
2. Поскольку функция четная, отражаем полученный график симметрично относительно оси $Oy$. При этом асимптоты появятся и при отрицательных значениях $x$: $x = -\pi/3, -2\pi/3, \dots$. Ось $Oy$ (то есть прямая $x=0$) также является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $3|x| \to 0$, а $\operatorname{ctg}(z) \to \infty$ при $z \to 0$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из ветвей графика $y = \operatorname{ctg}(3x)$ для $x>0$ и их зеркального отражения для $x<0$. Вертикальными асимптотами являются прямые $x = \frac{\pi k}{3}$ для всех целых $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

По определению модуля:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Применим это к нашей функции:

1. Если $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это условие выполняется в I и III координатных четвертях, то есть для $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

2. Если $\operatorname{tg} x < 0$.
Это условие выполняется во II и IV координатных четвертях, то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x - (-\operatorname{tg} x) = 2\operatorname{tg} x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ 2\operatorname{tg} x, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k) \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь построим график:

• Область определения функции совпадает с областью определения $\operatorname{tg} x$: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти прямые являются вертикальными асимптотами.
• На интервалах вида $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ график функции совпадает с осью абсцисс ($y=0$). Например, на $[0, \pi/2)$, $[\pi, 3\pi/2)$, $[-\pi, -\pi/2)$ и так далее.
• На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$ график функции совпадает с графиком $y = 2\operatorname{tg} x$. Это график тангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. На этих интервалах значения $\operatorname{tg} x$ отрицательны, поэтому ветви графика $y = 2\operatorname{tg} x$ будут лежать ниже оси абсцисс. Например, на интервале $(\pi/2, \pi)$ значения $y$ изменяются от $-\infty$ до 0.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков на оси $Ox$ на интервалах $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ и ветвей функции $y = 2\operatorname{tg} x$ (растянутого вдвое тангенса) на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$. Все ветви графика расположены ниже оси $Ox$ или на ней. Функция периодическая с периодом $T=\pi$.