Номер 186, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Дано: $ \sin \alpha + \cos \alpha = 0,6 $. Найдите:

1) $ \sin \alpha \cos \alpha $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha $.

1) sin α cos α;

Дано уравнение $ \sin\alpha + \cos\alpha = 0,6 $. Чтобы найти произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $, возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (0,6)^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,36 $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 - 1 $

$ 2\sin\alpha\cos\alpha = -0,64 $

$ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{-0,64}{2} $

$ \sin\alpha\cos\alpha = -0,32 $

Ответ: -0,32

2) tg α + ctg α.

Чтобы найти значение выражения $ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha $, представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

$ \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Подставим эти выражения в сумму:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В числителе мы снова получили основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $

Из первого пункта мы уже нашли, что $ \sin\alpha\cos\alpha = -0,32 $. Подставим это значение в полученное выражение:

$ \mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-0,32} $

Для вычисления представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ -0,32 = -\frac{32}{100} = -\frac{8}{25} $

Тогда:

$ \frac{1}{-\frac{8}{25}} = 1 \cdot (-\frac{25}{8}) = -\frac{25}{8} $

Переведем результат обратно в десятичную дробь:

$ -\frac{25}{8} = -3,125 $

Ответ: -3,125