Номер 183, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 (-8\alpha)}{1 - \cos 8\alpha \sin(-8\alpha)} = \sin 8\alpha - \cos 8\alpha$

2) $\sin^4 (-6x) - \cos^4 6x + 2\cos^2 6x = 1$

3) $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

4) $\cos^4 5\gamma + \sin^4 5\gamma - \cos^6 5\gamma - \sin^6 5\gamma = \cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$

5) $\frac{1 - (\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\operatorname{ctg}^2 \alpha$

6) $\frac{1 - \sqrt{17} \cos \alpha}{\sqrt{17} \sin \alpha - 4} = \frac{\sqrt{17} \sin \alpha + 4}{1 + \sqrt{17} \cos \alpha}$

7) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \beta} = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \beta$

1)

Преобразуем левую часть тождества, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

$\frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3(-8\alpha)}{1 - \cos 8\alpha \sin(-8\alpha)} = \frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha}{1 - \cos 8\alpha (-\sin 8\alpha)} = \frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha}{1 + \cos 8\alpha \sin 8\alpha}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к числителю:

$\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha = (\sin 8\alpha - \cos 8\alpha)(\sin^2 8\alpha + \sin 8\alpha \cos 8\alpha + \cos^2 8\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим выражение в скобках:

$\sin^2 8\alpha + \cos^2 8\alpha + \sin 8\alpha \cos 8\alpha = 1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(\sin 8\alpha - \cos 8\alpha)(1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha)}{1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha)$:

$\sin 8\alpha - \cos 8\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Так как синус — нечетная функция, $(-\sin x)^4 = \sin^4 x$, то $\sin^4(-6x) = \sin^4 6x$.

Выражение принимает вид:

$\sin^4 6x - \cos^4 6x + 2\cos^2 6x$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к первым двум слагаемым:

$\sin^4 6x - \cos^4 6x = (\sin^2 6x - \cos^2 6x)(\sin^2 6x + \cos^2 6x)$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 6x + \cos^2 6x = 1$.

Тогда выражение становится:

$(\sin^2 6x - \cos^2 6x) \cdot 1 + 2\cos^2 6x = \sin^2 6x - \cos^2 6x + 2\cos^2 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 6x + \cos^2 6x$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$\sin^2 6x + \cos^2 6x = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)\cos \beta$:

$\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \beta \cdot \cos \beta + (1 - \sin \beta)(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 - \sin \beta)^2}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(1 - \sin \beta)^2 = 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta$.

$\frac{\cos^2 \beta + 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$:

$\frac{(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$(\cos^4 5\gamma - \cos^6 5\gamma) + (\sin^4 5\gamma - \sin^6 5\gamma)$

Вынесем общие множители за скобки:

$\cos^4 5\gamma (1 - \cos^2 5\gamma) + \sin^4 5\gamma (1 - \sin^2 5\gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим выражения в скобках: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ и $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

$\cos^4 5\gamma \cdot \sin^2 5\gamma + \sin^4 5\gamma \cdot \cos^2 5\gamma$

Вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$:

$\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma (\cos^2 5\gamma + \sin^2 5\gamma)$

Выражение в скобках равно 1, поэтому получаем:

$\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma \cdot 1 = \cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем числитель дроби в левой части. Раскроем квадрат разности:

$1 - (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - (\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha)$

Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 - (1 - 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, заменив $\text{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\text{tg}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin \alpha (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha}) = \sin \alpha (\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^3 \alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^3 \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$2 \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = 2\text{ctg}^2 \alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Данное тождество является пропорцией $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, которая верна, если верно равенство $ad = bc$. Проверим это свойство для нашего случая.

$(1 - \sqrt{17}\cos \alpha)(1 + \sqrt{17}\cos \alpha) = (\sqrt{17}\sin \alpha - 4)(\sqrt{17}\sin \alpha + 4)$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к обеим частям равенства.

Левая часть:

$1^2 - (\sqrt{17}\cos \alpha)^2 = 1 - 17\cos^2 \alpha$

Правая часть:

$(\sqrt{17}\sin \alpha)^2 - 4^2 = 17\sin^2 \alpha - 16$

Теперь нужно доказать, что $1 - 17\cos^2 \alpha = 17\sin^2 \alpha - 16$. Преобразуем правую часть, используя тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$17(1 - \cos^2 \alpha) - 16 = 17 - 17\cos^2 \alpha - 16 = 1 - 17\cos^2 \alpha$

Получили выражение, равное левой части. Так как равенство $ad=bc$ верно, то и исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть, выразив котангенсы через тангенсы: $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$.

$\frac{\text{tg} \alpha - \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha - \text{tg} \beta} = \frac{\text{tg} \alpha - \frac{1}{\text{tg} \beta}}{\frac{1}{\text{tg} \alpha} - \text{tg} \beta}$

Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель большой дроби:

Числитель: $\text{tg} \alpha - \frac{1}{\text{tg} \beta} = \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta}$

Знаменатель: $\frac{1}{\text{tg} \alpha} - \text{tg} \beta = \frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha}$

Подставим обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta}}{\frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha}} = \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta} \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}$

Заметим, что $\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1 = -(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$.

$\frac{-(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)}{\text{tg} \beta} \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}$

Сократим на $(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$:

$\frac{-\text{tg} \alpha}{\text{tg} \beta} = -\text{tg} \alpha \cdot \frac{1}{\text{tg} \beta} = -\text{tg} \alpha \text{ctg} \beta$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.