Номер 178, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте график функции:

1) $y = \mathrm{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y = \frac{1}{2}\mathrm{tg} x + 2$;

3) $y = \mathrm{ctg} 2x$;

4) $y = -4\mathrm{ctg} \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.

1) $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$

График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg} x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Это периодическая функция с периодом $T=\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
2. Сдвинем весь построенный график, включая его асимптоты, влево на $\frac{\pi}{6}$.
   • Вертикальные асимптоты сместятся и будут задаваться уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Нули функции (точки пересечения с осью Ox), которые у $y = \operatorname{tg} x$ находились в точках $x = \pi n$, сместятся в точки $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
   • Точка $(0,0)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{6}, 0)$. Точка пересечения с осью Oy будет $(0, \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}))$, то есть $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ получается сдвигом графика $y = \operatorname{tg} x$ влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$.

2) $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$

График функции $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg} x$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси ординат (Oy) с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Получаем график промежуточной функции $y_1 = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x$. При этом преобразовании ордината каждой точки графика умножается на $\frac{1}{2}$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного графика $y_1$ вверх вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы.

Рассмотрим, как меняются свойства графика:

• Период функции остается равным $T=\pi$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, не изменяются.
• Сжатие не меняет нули функции, поэтому нули $y_1 = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x$ находятся там же, где и у $y = \operatorname{tg} x$, то есть в точках $x = \pi n$.
• После сдвига вверх на 2, эти точки $(\pi n, 0)$ переходят в точки $(\pi n, 2)$. График проходит, например, через точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия вдоль оси ординат с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и последующим сдвигом вверх вдоль оси ординат на 2 единицы.

3) $y = \operatorname{ctg} 2x$

График функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем сжатия графика к оси ординат (Oy) в 2 раза.

Это преобразование влияет на период функции и положение ее асимптот и нулей:

• Период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $T=\pi$. Период функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ будет в 2 раза меньше: $T' = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ асимптоты будут в точках, где $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$.
• Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Для функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ нули будут в точках, где $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Для построения графика нужно взять график $y = \operatorname{ctg} x$ и сжать его по горизонтали так, чтобы абсцисса каждой точки уменьшилась в 2 раза.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ сжатием к оси ординат в 2 раза.

4) $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$ с помощью последовательности из четырех преобразований:

1. Сдвиг вправо: Сначала строим график $y_1 = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. Это график $y = \operatorname{ctg} x$, сдвинутый вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
2. Растяжение по вертикали: Далее строим $y_2 = 4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. График $y_1$ растягивается от оси Ox в 4 раза.
3. Отражение: Затем строим $y_3 = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. График $y_2$ симметрично отражается относительно оси Ox. Из-за этого убывающая функция котангенса становится возрастающей на каждом интервале определения.
4. Сдвиг вверх: Наконец, строим итоговый график $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$. График $y_3$ сдвигается вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.

Ключевые характеристики итогового графика:

• Период не изменился и равен $T=\pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Точки пересечения графика с горизонтальной прямой $y=1$ находятся там, где $\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) = 0$, то есть при $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Эти точки $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, 1)$ являются центрами симметрии для ветвей графика.

Ответ: График функции $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ последовательным применением преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжение вдоль оси ординат в 4 раза, отражение относительно оси абсцисс и сдвиг вверх на 1.