Номер 173, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x:$

1) $A \left( \frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3} \right);$

2) $B \left( -\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3} \right);$

3) $C \left( \frac{9\pi}{4}; 1 \right);$

4) $D \left( -\frac{7\pi}{2}; 0 \right);$

5) $E \left( \frac{10\pi}{3}; \sqrt{3} \right)?$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y=f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $f(x_0)$ с $y_0$.

1) y = tg x

Проверим каждую из заданных точек:

• Точка A($\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = \text{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции совпадает с ординатой точки A, следовательно, точка A принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

• Точка B($-\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y = \text{tg}(-\frac{4\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{4\pi}{3}) = -\text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$. Значение функции $-\sqrt{3}$ не совпадает с ординатой точки B $\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка B не принадлежит графику.

• Точка C($\frac{9\pi}{4}; 1$). Найдем значение функции при $x = \frac{9\pi}{4}$: $y = \text{tg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Значение функции совпадает с ординатой точки C, следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

• Точка D($-\frac{7\pi}{2}; 0$). Найдем значение функции при $x = -\frac{7\pi}{2}$. Функция $y = \text{tg } x$ не определена в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $x = -\frac{7\pi}{2}$ имеем: $-\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 4\pi$, что соответствует $k = -4$. Следовательно, в этой точке функция не определена, и точка D не принадлежит графику.

• Точка E($\frac{10\pi}{3}; \sqrt{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{10\pi}{3}$: $y = \text{tg}(\frac{10\pi}{3}) = \text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Значение функции совпадает с ординатой точки E, следовательно, точка E принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

Ответ: Графику функции $y = \text{tg } x$ принадлежат точки A, C, E.

2) y = ctg x

Проверим каждую из заданных точек:

• Точка A($\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = \text{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. Значение функции $-\sqrt{3}$ не совпадает с ординатой точки A $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка A не принадлежит графику.

• Точка B($-\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y = \text{ctg}(-\frac{4\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{4\pi}{3}) = -\text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ не совпадает с ординатой точки B $\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка B не принадлежит графику.

• Точка C($\frac{9\pi}{4}; 1$). Найдем значение функции при $x = \frac{9\pi}{4}$: $y = \text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Значение функции совпадает с ординатой точки C, следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \text{ctg } x$.

• Точка D($-\frac{7\pi}{2}; 0$). Найдем значение функции при $x = -\frac{7\pi}{2}$: $y = \text{ctg}(-\frac{7\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{8\pi-\pi}{2}) = \text{ctg}(-4\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Значение функции совпадает с ординатой точки D, следовательно, точка D принадлежит графику функции $y = \text{ctg } x$.

• Точка E($\frac{10\pi}{3}; \sqrt{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{10\pi}{3}$: $y = \text{ctg}(\frac{10\pi}{3}) = \text{ctg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не совпадает с ординатой точки E $\sqrt{3}$, следовательно, точка E не принадлежит графику.

Ответ: Графику функции $y = \text{ctg } x$ принадлежат точки C, D.