Номер 171, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x - 2$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = -\sin 3x$;

4) $y = \frac{1}{2}\sin x$;

5) $y = \frac{1}{2}\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

Для построения графиков данных функций используются геометрические преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Для построения графика функции $y = \sin x - 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это параллельный перенос вдоль оси ординат ($Oy$).

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая проходит через начало координат, имеет период $T=2\pi$, амплитуду $A=1$ и область значений $[-1, 1]$.
2. Выполним параллельный перенос построенного графика на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переместится в точку $(x, y-2)$.

Таким образом, синусоида будет колебаться не относительно оси абсцисс ($y=0$), а относительно прямой $y=-2$. Максимальное значение функции будет $1-2=-1$, а минимальное $-1-2=-3$. Область значений функции: $[-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз по оси $Oy$.

Для построения графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это параллельный перенос вдоль оси абсцисс ($Ox$), который также называют фазовым сдвигом.

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$ (стандартная синусоида).
2. Выполним параллельный перенос построенного графика на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$. Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переместится в точку $(x+\frac{\pi}{4}, y)$.

Например, точка начала координат $(0, 0)$ переместится в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$. Максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ сместится в точку $(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{3\pi}{4}, 1)$. Амплитуда, период и область значений функции остаются без изменений ($A=1$, $T=2\pi$, $E(y)=[-1, 1]$).

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси $Ox$.

Для построения графика функции $y = -\sin 3x$ необходимо выполнить последовательно два преобразования графика базовой функции $y = \sin x$: сжатие по горизонтали и симметричное отражение относительно оси абсцисс.

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Преобразуем его в график $y = \sin 3x$. Это преобразование является сжатием графика к оси $Oy$ в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $T = \frac{2\pi}{3}$. Все абсциссы характерных точек графика $y=\sin x$ нужно разделить на 3. Например, максимум из точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
3. Преобразуем график $y = \sin 3x$ в $y = -\sin 3x$. Это преобразование является симметричным отражением графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Все положительные значения функции станут отрицательными, и наоборот. Точка $(\frac{\pi}{6}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{6}, -1)$.

Итоговый график будет иметь амплитуду $A=|-1|=1$ и период $T=\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y = -\sin 3x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 3 раза с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это сжатие вдоль оси ординат ($Oy$).

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Выполним сжатие этого графика к оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. Это означает, что ординату каждой точки графика нужно умножить на $\frac{1}{2}$.

В результате этого преобразования амплитуда функции уменьшится в 2 раза и станет равной $A = \frac{1}{2}$. Максимальное значение функции будет $\frac{1}{2}$, а минимальное $-\frac{1}{2}$. Область значений функции: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Период функции не изменится ($T=2\pi$).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Ox$ в 2 раза (или с коэффициентом $\frac{1}{2}$).

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$ необходимо выполнить последовательно три преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Порядок построения:

1. Построим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Выполним сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, чтобы получить график $y = \frac{1}{2}\sin x$. Амплитуда станет равной $\frac{1}{2}$, а область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
3. Сдвинем полученный график вправо по оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$, чтобы получить график $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
4. Сдвинем последний график вниз по оси $Oy$ на 2 единицы, чтобы получить итоговый график $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

В результате всех преобразований мы получим синусоиду со следующими параметрами:

• Амплитуда: $A = \frac{1}{2}$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{4}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: 2 вниз.
• Средняя линия: $y=-2$.
• Область значений: $[-2 - \frac{1}{2}, -2 + \frac{1}{2}] = [-2.5, -1.5]$.

Ответ: График данной функции получается из графика $y = \sin x$ последовательным применением: сжатия к оси $Ox$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$ и сдвига вниз на 2.