Номер 166, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$:

1) $A\left(-\frac{5\pi}{2}; 0\right)$;

2) $B\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

3) $C\left(\frac{9\pi}{2}; 1\right)$;

4) $D\left(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2}\right)$;

5) $E\left(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение абсциссы $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $f(x_0)$ с ординатой точки $y_0$. Если равенство $y_0 = f(x_0)$ выполняется, то точка принадлежит графику.

1) y = sin x

Проверим принадлежность каждой из указанных точек графику функции $y = \sin x$.

1) Для точки $A(-\frac{5\pi}{2}; 0)$.
Подставляем $x = -\frac{5\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{5\pi}{2})$.
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$) и его периодичность (период $2\pi$), получаем:
$\sin(-\frac{5\pi}{2}) = -\sin(\frac{5\pi}{2}) = -\sin(\frac{4\pi + \pi}{2}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Поскольку вычисленное значение $y = -1$ не равно ординате точки $A$, равной $0$, точка $A$ не принадлежит графику функции $y = \sin x$.

2) Для точки $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию: $y = \sin(\frac{2\pi}{3})$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ совпадает с ординатой точки $B$. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

3) Для точки $C(\frac{9\pi}{2}; 1)$.
Подставляем $x = \frac{9\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(\frac{9\pi}{2})$.
Учитывая периодичность синуса:
$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{8\pi + \pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Вычисленное значение $y = 1$ совпадает с ординатой точки $C$. Следовательно, точка $C$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

4) Для точки $D(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.
Подставляем $x = -\frac{4\pi}{3}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{4\pi}{3})$.
$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{1}{2}$, точка $D$ не принадлежит графику функции $y = \sin x$.

5) Для точки $E(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{17\pi}{4}$ в функцию: $y = \sin(\frac{17\pi}{4})$.
$\sin(\frac{17\pi}{4}) = \sin(\frac{16\pi + \pi}{4}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $E$. Следовательно, точка $E$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

Ответ: Графику функции $y = \sin x$ принадлежат точки B, C, E.

2) y = cos x

Проверим принадлежность каждой из указанных точек графику функции $y = \cos x$.

1) Для точки $A(-\frac{5\pi}{2}; 0)$.
Подставляем $x = -\frac{5\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{5\pi}{2})$.
Используя свойство четности косинуса ($\cos(-a) = \cos(a)$) и его периодичность, получаем:
$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Вычисленное значение $y = 0$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка $A$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

2) Для точки $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию: $y = \cos(\frac{2\pi}{3})$.
Используя формулу приведения $\cos(\pi - a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $-\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, точка $B$ не принадлежит графику функции $y = \cos x$.

3) Для точки $C(\frac{9\pi}{2}; 1)$.
Подставляем $x = \frac{9\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(\frac{9\pi}{2})$.
$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Поскольку $0 \neq 1$, точка $C$ не принадлежит графику функции $y = \cos x$.

4) Для точки $D(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.
Подставляем $x = -\frac{4\pi}{3}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{4\pi}{3})$.
$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Вычисленное значение $y = -\frac{1}{2}$ совпадает с ординатой точки $D$. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

5) Для точки $E(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{17\pi}{4}$ в функцию: $y = \cos(\frac{17\pi}{4})$.
$\cos(\frac{17\pi}{4}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $E$. Следовательно, точка $E$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

Ответ: Графику функции $y = \cos x$ принадлежат точки A, D, E.