Номер 159, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$;

2) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$?

1) sin α > 0 и sin α cos α < 0;

Для решения задачи проанализируем знаки тригонометрических функций в координатных четвертях. Первое условие $sin α > 0$ означает, что угол $α$ находится в I или II координатной четверти, так как синус положителен именно в этих четвертях. Второе условие $sin α cos α < 0$ говорит о том, что произведение синуса и косинуса отрицательно. Это возможно только если $sin α$ и $cos α$ имеют разные знаки. Поскольку из первого условия мы уже знаем, что $sin α > 0$, то для выполнения второго условия необходимо, чтобы косинус был отрицательным, то есть $cos α < 0$. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Чтобы найти искомую четверть, нужно найти пересечение множеств четвертей, удовлетворяющих обоим условиям: ($α$ в I или II четверти) и ($α$ во II или III четверти). Единственная общая для обоих условий четверть — это вторая. Таким образом, угол $α$ является углом второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) |sin α| = sin α и sin α cos α > 0?

Рассмотрим первое условие: $|sin α| = sin α$. Это равенство выполняется только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $sin α ≥ 0$. Это означает, что угол $α$ может находиться в I или II четверти (а также на граничных значениях $0$, $π$, $2π$, ...). Теперь рассмотрим второе условие: $sin α cos α > 0$. Это неравенство означает, что произведение синуса и косинуса положительно. Это возможно в двух случаях: либо оба сомножителя положительны ($sin α > 0$ и $cos α > 0$), что соответствует I четверти, либо оба отрицательны ($sin α < 0$ и $cos α < 0$), что соответствует III четверти. Из второго условия ($sin α cos α > 0$) также следует, что $sin α \neq 0$, иначе произведение было бы равно нулю, а не больше нуля. Поэтому первое условие $sin α ≥ 0$ уточняется до строгого неравенства $sin α > 0$. Теперь объединим оба условия: нам нужна четверть, где $sin α > 0$ и где $sin α$ и $cos α$ имеют одинаковые знаки. Если $sin α > 0$, то для выполнения второго условия и $cos α$ должен быть больше нуля. Условие, при котором и синус, и косинус положительны ($sin α > 0$ и $cos α > 0$), выполняется только для углов первой четверти.

Ответ: I четверть.