Номер 153, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a + 6;$

2) $\cos x = a^2 - 9a + 19?$

1) sin x = a + 6

Значение функции синус любого угла находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $.

Следовательно, данное равенство возможно только при условии, что выражение $ a + 6 $ принимает значения из этого промежутка.

Составим и решим двойное неравенство:

$ -1 \le a + 6 \le 1 $

Вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы найти значения $a$:

$ -1 - 6 \le a + 6 - 6 \le 1 - 6 $

$ -7 \le a \le -5 $

Таким образом, равенство возможно при $ a \in [-7; -5] $.

Ответ: при $ a \in [-7; -5] $.

2) cos x = a² - 9a + 19

Аналогично синусу, значение функции косинус любого угла также находится в промежутке от -1 до 1: $ -1 \le \cos x \le 1 $.

Это означает, что выражение $ a^2 - 9a + 19 $ должно удовлетворять двойному неравенству:

$ -1 \le a^2 - 9a + 19 \le 1 $

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} a^2 - 9a + 19 \ge -1 \\ a^2 - 9a + 19 \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ a^2 - 9a + 19 \ge -1 $

$ a^2 - 9a + 20 \ge 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ a^2 - 9a + 20 = 0 $. По теореме Виета, корни $ a_1 = 4 $ и $ a_2 = 5 $.

Так как ветви параболы $ y = a^2 - 9a + 20 $ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $ a $ вне корней:

$ a \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty) $.

Теперь решим второе неравенство:

$ a^2 - 9a + 19 \le 1 $

$ a^2 - 9a + 18 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ a^2 - 9a + 18 = 0 $. По теореме Виета, корни $ a_1 = 3 $ и $ a_2 = 6 $.

Ветви параболы $ y = a^2 - 9a + 18 $ также направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $ a $ между корнями:

$ a \in [3; 6] $.

Для нахождения окончательного решения необходимо найти пересечение полученных множеств:

$ ((-\infty; 4] \cup [5; +\infty)) \cap [3; 6] $

Пересечением является объединение двух промежутков: $ [3; 4] \cup [5; 6] $.

Ответ: при $ a \in [3; 4] \cup [5; 6] $.