Номер 146, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (0; 1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2 \left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Для решения задачи будем использовать тригонометрическую окружность, где координаты точки, соответствующей углу $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Начальная точка $P_0(0; 1)$ соответствует углу $\alpha_0$, для которого $\cos \alpha_0 = 0$ и $\sin \alpha_0 = 1$. Отсюда следует, что основной угол $\alpha_0 = \frac{\pi}{2}$. Чтобы найти все углы поворота $\theta$ из точки $P_0$ в некоторую точку $P_k$ с соответствующим ей углом $\alpha_k$, нужно найти разность этих углов и учесть все возможные полные обороты (положительные и отрицательные). Таким образом, искомый угол поворота $\theta = \alpha_k - \alpha_0 + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

1) Найдём угол $\alpha_1$, соответствующий точке $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Из координат точки следует, что $\cos \alpha_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \alpha_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим условиям в интервале $[0, 2\pi)$ соответствует угол $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$. Теперь вычислим все искомые углы поворота $\theta_1$:
$\theta_1 = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi n = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi - 2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Найдём угол $\alpha_2$, соответствующий точке $P_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Из координат точки следует, что $\cos \alpha_2 = -\frac{1}{2}$ и $\sin \alpha_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как косинус отрицателен, а синус положителен, угол находится во второй координатной четверти. Этим условиям в интервале $[0, 2\pi)$ соответствует угол $\alpha_2 = \frac{2\pi}{3}$. Теперь вычислим все искомые углы поворота $\theta_2$:
$\theta_2 = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{4\pi - 3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.