Номер 143, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $138^{\circ}$;

2) $-140^{\circ}$;

3) $500^{\circ}$;

4) $-48^{\circ}$;

5) $\frac{\pi}{7}$;

6) $\frac{5\pi}{3}$;

7) $-\frac{11\pi}{6}$;

8) $-1,7\pi$;

9) $2$;

10) $-3$?

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, необходимо проанализировать угол поворота. Начальная точка $P_0(1; 0)$ находится на положительной части оси Ox. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:

• I четверть: от 0° до 90° (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от 90° до 180° (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от 180° до 270° (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от 270° до 360° (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

1) 138°

Угол $\alpha = 138°$. Так как $90° < 138° < 180°$, точка, полученная поворотом на этот угол, находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

2) -140°

Угол $\alpha = -140°$. Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Чтобы найти соответствующий положительный угол, можно прибавить 360° (полный оборот): $-140° + 360° = 220°$. Так как $180° < 220° < 270°$, точка находится в третьей четверти. Ответ: III четверть.

3) 500°

Угол $\alpha = 500°$. Этот угол больше 360°, что соответствует более чем одному полному обороту. Чтобы найти эквивалентный угол в пределах от 0° до 360°, вычтем 360°: $500° - 360° = 140°$. Поскольку $90° < 140° < 180°$, точка находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

4) -48°

Угол $\alpha = -48°$. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив 360°: $-48° + 360° = 312°$. Так как $270° < 312° < 360°$, точка находится в четвертой четверти. Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{7}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$ радиан. Сравним этот угол с границами первой четверти ($0$ и $\frac{\pi}{2}$). Очевидно, что $0 < \frac{\pi}{7}$. Сравним $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{2}$. Так как $7 > 2$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$, и следовательно $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, и точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

6) $\frac{5\pi}{3}$

Угол $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ радиан. Сравним этот угол с границами четвертей в радианах. Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, а $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$, то верно неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Следовательно, точка находится в четвертой четверти. Другой способ - преобразовать в градусы: $\frac{5\pi}{3} = \frac{5 \times 180°}{3} = 300°$. Угол 300° находится между 270° и 360°, что соответствует четвертой четверти. Ответ: IV четверть.

7) $-\frac{11\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{11\pi}{6}$ радиан. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, прибавим полный оборот $2\pi$: $-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, значит, точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

8) -1,7$\pi$

Угол $\alpha = -1.7\pi$ радиан. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$: $-1.7\pi + 2\pi = 0.3\pi$. Сравним $0.3\pi$ с границей первой четверти $\frac{\pi}{2} = 0.5\pi$. Так как $0 < 0.3\pi < 0.5\pi$, точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

9) 2

Угол $\alpha = 2$ радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда границы второй четверти: от $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$ до $\pi \approx 3.14$. Так как $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, точка находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

10) -3

Угол $\alpha = -3$ радиана. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$. Используем $\pi \approx 3.14$. Эквивалентный угол равен $-3 + 2\pi \approx -3 + 2 \times 3.14 = -3 + 6.28 = 3.28$ радиан. Сравним полученный угол с границами третьей четверти: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3.14}{2} = 4.71$. Поскольку $3.14 < 3.28 < 4.71$, то есть $\pi < 3.28 < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти. Ответ: III четверть.