Номер 136, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+12} < 8-x$;

2) $\sqrt{2x-1} < x-2$;

3) $\sqrt{1-x^2} < 4-x$;

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$.

1) Решим неравенство $\sqrt{x + 12} < 8 - x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае получаем систему:

$ \begin{cases} x + 12 \ge 0 \\ 8 - x > 0 \\ x + 12 < (8 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x + 12 \ge 0 \implies x \ge -12$.
2. $8 - x > 0 \implies x < 8$.
3. $x + 12 < 64 - 16x + x^2$. Перенесем все члены в правую часть: $x^2 - 17x + 52 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{17 - 9}{2} = 4$, $x_2 = \frac{17 + 9}{2} = 13$.
Поскольку парабола $y = x^2 - 17x + 52$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 17x + 52 > 0$ выполняется при $x < 4$ или $x > 13$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge -12$, $x < 8$ и $x \in (-\infty; 4) \cup (13; +\infty)$.
Из первых двух неравенств получаем $x \in [-12; 8)$.
Пересекая этот интервал с множеством $(-\infty; 4) \cup (13; +\infty)$, получаем итоговое решение $x \in [-12; 4)$.

Ответ: $[-12; 4)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{2x - 1} < x - 2$.

Это неравенство также равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ 2x - 1 < (x - 2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
2. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3. $2x - 1 < x^2 - 4x + 4$. Перенесем все члены в правую часть: $x^2 - 6x + 5 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Решение неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \ge \frac{1}{2}$, $x > 2$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Из первых двух неравенств следует $x > 2$.
Пересекая интервал $(2; +\infty)$ с множеством $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$, получаем $x \in (5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{1 - x^2} < 4 - x$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \\ 1 - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1; 1]$.
2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.
3. $1 - x^2 < 16 - 8x + x^2$. Перенесем все члены в правую часть: $2x^2 - 8x + 15 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 8x + 15$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 64 - 120 = -56$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), то трехчлен $2x^2 - 8x + 15$ положителен при любых значениях $x$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in [-1; 1]$, $x < 4$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечением этих трех множеств является интервал $[-1; 1]$.

Ответ: $[-1; 1]$.

4) Решим неравенство $\sqrt{2x^2 - 11x + 9} \le x - 3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае получаем систему:

$ \begin{cases} 2x^2 - 11x + 9 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 11x + 9 \le (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:
1. $2x^2 - 11x + 9 \ge 0$. Корни уравнения $2x^2 - 11x + 9 = 0$: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$, $x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty)$.
2. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
3. $2x^2 - 11x + 9 \le x^2 - 6x + 9$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 5x \le 0$, или $x(x - 5) \le 0$. Решение этого неравенства: $x \in [0; 5]$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty)$, $x \ge 3$ и $x \in [0; 5]$.
Пересечение второго и третьего неравенств ($x \ge 3$ и $x \in [0; 5]$) дает $x \in [3; 5]$.
Теперь пересечем этот результат с решением первого неравенства: $[3; 5] \cap ((-\infty; 1] \cup [4.5; +\infty))$.
Пересечение дает итоговый ответ $[4.5; 5]$.

Ответ: $[4.5; 5]$.