Номер 133, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-4} = \sqrt{x-7}$;

2) $\sqrt{x-6} = \sqrt{x-5} - \sqrt{2x-5}$;

3) $\sqrt{x-5} = \sqrt{2x-7} - \sqrt{x-2}$.

1) $ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-4}=\sqrt{x-7} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \\ x-7 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему неравенств, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 4 \\ x \ge 7 \end{cases} \implies x \ge 7 $
Также, так как правая часть уравнения $ \sqrt{x-7} $ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательна:
$ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-4} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-4} $
Возводя обе части в квадрат, получаем $ x+1 \ge x-4 $, что упрощается до $ 1 \ge -4 $. Это неравенство верно всегда.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \ge 7 $.

Для решения уравнения перенесем один из корней в правую часть, чтобы при возведении в квадрат избавиться от одного из корней:
$ \sqrt{x+1} = \sqrt{x-7} + \sqrt{x-4} $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{x-7} + \sqrt{x-4})^2 $
$ x+1 = (x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x-4)} + (x-4) $
$ x+1 = 2x - 11 + 2\sqrt{x^2 - 11x + 28} $
Уединим оставшийся корень:
$ 12 - x = 2\sqrt{x^2 - 11x + 28} $
Поскольку правая часть неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $ 12 - x \ge 0 \implies x \le 12 $.
С учетом ОДЗ ($ x \ge 7 $), получаем ограничение для корней: $ 7 \le x \le 12 $.
Снова возведем обе части в квадрат:
$ (12 - x)^2 = (2\sqrt{x^2 - 11x + 28})^2 $
$ 144 - 24x + x^2 = 4(x^2 - 11x + 28) $
$ 144 - 24x + x^2 = 4x^2 - 44x + 112 $
$ 3x^2 - 20x - 32 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 400 + 384 = 784 = 28^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 28}{6} = \frac{48}{6} = 8 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 28}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $

Проверим найденные корни. Корень $ x_1 = 8 $ удовлетворяет условию $ 7 \le x \le 12 $.
Корень $ x_2 = -4/3 $ не удовлетворяет этому условию, поэтому является посторонним.

Выполним проверку для $ x = 8 $, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{8+1} - \sqrt{8-4} = \sqrt{8-7} $
$ \sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{1} $
$ 3 - 2 = 1 $
$ 1 = 1 $ (верно)

Ответ: 8

2) $ \sqrt{x-6}=\sqrt{x-5}-\sqrt{2x-5} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x-6 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x \ge 5 \\ x \ge 2.5 \end{cases} \implies x \ge 6 $
Левая часть уравнения $ \sqrt{x-6} $ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной:
$ \sqrt{x-5} - \sqrt{2x-5} \ge 0 \implies \sqrt{x-5} \ge \sqrt{2x-5} $
Возведем обе части в квадрат:
$ x-5 \ge 2x-5 \implies 0 \ge x \implies x \le 0 $
Теперь объединим все условия: $ x \ge 6 $ и $ x \le 0 $. Эти два условия не могут выполняться одновременно, так как их пересечение является пустым множеством ($ [6, +\infty) \cap (-\infty, 0] = \emptyset $).
Следовательно, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет корней

3) $ \sqrt{x-5}=\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-2} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2x-7 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge 3.5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 5 $
Левая часть уравнения $ \sqrt{x-5} $ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной:
$ \sqrt{2x-7} - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{2x-7} \ge \sqrt{x-2} $
Возведем обе части в квадрат:
$ 2x-7 \ge x-2 \implies x \ge 5 $
Это условие совпадает с найденной ранее областью определения. Итак, ОДЗ: $ x \ge 5 $.

Перенесем корень из правой части в левую:
$ \sqrt{x-5} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-7} $
Возведем обе части в квадрат:
$ (\sqrt{x-5} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x-7})^2 $
$ (x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x-2)} + (x-2) = 2x-7 $
$ 2x - 7 + 2\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 2x-7 $
$ 2\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 $
$ \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 $
$ x^2 - 7x + 10 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни:
$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 5 $

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($ x \ge 5 $).
$ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ, значит, это посторонний корень.
$ x_2 = 5 $ принадлежит ОДЗ.

Проверим корень $ x = 5 $ подстановкой в исходное уравнение:
$ \sqrt{5-5} = \sqrt{2 \cdot 5 - 7} - \sqrt{5-2} $
$ \sqrt{0} = \sqrt{10-7} - \sqrt{3} $
$ 0 = \sqrt{3} - \sqrt{3} $
$ 0 = 0 $ (верно)

Ответ: 5