Номер 128, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 + \sqrt{x^2 + 11} = 31$;

2) $2x^2 + 3x - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3 = 0$;

3) $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2$;

4) $x\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x^3} = 2$;

5) $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0.$

1) $x^2 + \sqrt{x^2 + 11} = 31$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x^2 + 11}$.

Так как $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = x^2 + 11$, откуда выразим $x^2 = y^2 - 11$.

Подставим $y$ и выражение для $x^2$ в исходное уравнение:

$(y^2 - 11) + y = 31$

Получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 42 = 0$

Решим его с помощью теоремы Виета. Найдем корни $y_1$ и $y_2$:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -42$

Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_2 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается $y = 6$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 11} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 11 = 36$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Ответ: $x = \pm 5$.

2) $2x^2 + 3x - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}$. Условие: $y \ge 0$.

Возведем замену в квадрат: $y^2 = 2x^2 + 3x + 9$, откуда $2x^2 + 3x = y^2 - 9$.

Подставим в исходное уравнение:

$(y^2 - 9) - 5y + 3 = 0$

$y^2 - 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 5$

$y_1 \cdot y_2 = -6$

Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, используем только $y = 6$.

Выполним обратную замену:

$2x^2 + 3x = y^2 - 9$

$2x^2 + 3x = 6^2 - 9$

$2x^2 + 3x = 27$

$2x^2 + 3x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 15}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -4.5$.

3) $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны быть равны нулю:

$\frac{2-x}{x+4} > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-4, 2)$.

Пусть $y = \sqrt{\frac{2-x}{x+4}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = \frac{1}{y}$.

Так как $y$ - корень, то $y>0$.

Уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = 2$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 1 = 2y$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y-1)^2 = 0$

Отсюда $y = 1$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} = 1$

Возведем в квадрат:

$\frac{2-x}{x+4} = 1$

$2-x = x+4$

$2x = -2$

$x = -1$

Найденный корень $x=-1$ принадлежит ОДЗ $(-4, 2)$.

Ответ: $x = -1$.

4) $x\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x^3} = 2$

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

$x^1 \cdot x^{1/5} - x^{3/5} = 2$

$x^{6/5} - x^{3/5} = 2$

Заметим, что $x^{6/5} = (x^{3/5})^2$. Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/5}$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = 2$

$x^{3/5} = 2$

$(\sqrt[5]{x})^3 = 2$

$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{2}$

$x = (\sqrt[3]{2})^5 = 2^{5/3} = \sqrt[3]{32}$

Случай 2: $y_2 = -1$

$x^{3/5} = -1$

$(\sqrt[5]{x})^3 = -1$

$\sqrt[5]{x} = -1$

$x = (-1)^5 = -1$

Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{32}$, $x_2 = -1$.

5) $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$

Вынесем 5 за скобки в первых двух слагаемых:

$5(x^2 - 4x) + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$

Видно, что выражение $x^2 - 4x$ повторяется. Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 4x + 9}$.

Условие: $y \ge 0$.

Возведем замену в квадрат: $y^2 = x^2 - 4x + 9$, откуда $x^2 - 4x = y^2 - 9$.

Подставим в уравнение:

$5(y^2 - 9) + 6 - 2y = 0$

$5y^2 - 45 + 6 - 2y = 0$

$5y^2 - 2y - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:

$D = (-2)^2 - 4(5)(-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$

$y = \frac{2 \pm 28}{10}$

$y_1 = \frac{2 + 28}{10} = 3$

$y_2 = \frac{2 - 28}{10} = -2.6$

Корень $y_2 = -2.6$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Используем $y = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 4x = y^2 - 9$

$x^2 - 4x = 3^2 - 9$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.