Номер 124, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{7-x} = x-1;$

2) $\sqrt{2x^2+8x+7} - 2 = x.$

1) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \le 7 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [1; 7]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$

$7 - x = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [1; 7]$). Корень $x_1 = 3$ принадлежит отрезку $[1; 7]$, значит, он является решением исходного уравнения. Корень $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 7]$, значит, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7 - 3} = 3 - 1$

$\sqrt{4} = 2$

$2 = 2$ (верно)

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$

Сначала перенесем -2 в правую часть, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы возводим обе части в квадрат и требуем, чтобы правая часть была неотрицательной (так как она равна значению арифметического квадратного корня).

$\begin{cases} 2x^2 + 8x + 7 = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим сначала уравнение системы:

$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2x^2 - x^2) + (8x - 4x) + (7 - 4) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3$

Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Для корня $x_1 = -1$ условие $-1 \ge -2$ является верным, значит, $x = -1$ является решением. Для корня $x_2 = -3$ условие $-3 \ge -2$ является неверным, значит, $x = -3$ — посторонний корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)^2 + 8(-1) + 7} - 2 = -1$

$\sqrt{2 - 8 + 7} - 2 = -1$

$\sqrt{1} - 2 = -1$

$1 - 2 = -1$

$-1 = -1$ (верно)

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -1