Номер 123, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x-3} = -3;$

2) $\sqrt[3]{2x-3} = -3;$

3) $\sqrt[8]{5-x} = \sqrt[8]{3x-3};$

4) $\sqrt{2x-3} = \sqrt{1-x};$

5) $\sqrt[12]{2x-3} = \sqrt[12]{x^2+x-23};$

6) $\sqrt{2x-3} = 3-2x.$

1) Решим уравнение $\sqrt[4]{2x - 3} = -3$.
По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой степени) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ должно выполняться условие $\sqrt[4]{2x - 3} \ge 0$.
Однако правая часть уравнения равна $-3$, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $\sqrt[3]{2x - 3} = -3$.
Корень нечетной степени (в данном случае, третьей степени) может быть отрицательным числом, поэтому уравнение может иметь решение. Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[3]{2x - 3})^3 = (-3)^3$
$2x - 3 = -27$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$2x = -27 + 3$
$2x = -24$
$x = \frac{-24}{2}$
$x = -12$
Проверка: Подставим $x = -12$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(-12) - 3} = \sqrt[3]{-24 - 3} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.
Ответ: -12.

3) Решим уравнение $\sqrt[8]{5 - x} = \sqrt[8]{3x - 3}$.
Поскольку корни имеют четную степень (8), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 5 - x \ge 0 \\ 3x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; 5]$.
Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в восьмую степень:
$(\sqrt[8]{5 - x})^8 = (\sqrt[8]{3x - 3})^8$
$5 - x = 3x - 3$
$5 + 3 = 3x + x$
$8 = 4x$
$x = 2$
Полученное значение $x=2$ принадлежит ОДЗ $[1; 5]$, следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: 2.

4) Решим уравнение $\sqrt{2x - 3} = \sqrt{1 - x}$.
Для существования корней четной степени (квадратных корней) подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 1 \ge x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$
Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно $1.5$ и меньше или равно $1$. Таким образом, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

5) Решим уравнение $\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$.
Так как степени корней четные (12), уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x - 3 = x^2 + x - 23 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
(Условие $x^2 + x - 23 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 + x - 23 = 2x - 3$, а $2x - 3 \ge 0$).
Решим сначала уравнение:
$x^2 + x - 2x - 23 + 3 = 0$
$x^2 - x - 20 = 0$
Используем теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -20. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $2x - 3 \ge 0$.
Для $x_1 = 5$:
$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Так как $7 \ge 0$, корень $x=5$ подходит.
Для $x_2 = -4$:
$2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$. Так как $-11 < 0$, корень $x=-4$ является посторонним.
Единственным решением является $x=5$.
Ответ: 5.

6) Решим уравнение $\sqrt{2x - 3} = 3 - 2x$.
Данное уравнение равносильно системе, учитывающей область определения и неотрицательность правой части:
$\begin{cases} 2x - 3 = (3 - 2x)^2 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases}$
(Условие $2x - 3 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $2x - 3$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).
Решим неравенство:
$3 - 2x \ge 0 \Rightarrow 3 \ge 2x \Rightarrow x \le 1.5$.
Теперь решим уравнение:
$2x - 3 = 9 - 12x + 4x^2$
$4x^2 - 12x - 2x + 9 + 3 = 0$
$4x^2 - 14x + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Сравним найденные корни с условием $x \le 1.5$.
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \le 1.5$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = 1.5$ удовлетворяет условию $1.5 \le 1.5$, значит, это решение уравнения.
Ответ: 1.5.