Страница 23 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{8}} + 8}{x^{\frac{1}{4}} + 4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}} + 1}{3x^{\frac{1}{8}} + 12} - \frac{6-x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}}$;

3) $\left( \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}}{xy^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y}$

1)

Дано выражение: $ \frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}}} $

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $ b^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{2}} = -(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) $. Тогда третья дробь примет вид: $ \frac{b^{\frac{1}{2}}}{-(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})} = -\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} $.

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} - \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} $

Сгруппируем вторую и третью дроби и приведем их к общему знаменателю $ (a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a-b $.

$ - \left( \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}} \right) = - \frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})} = - \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a-b} = - \frac{2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} = \frac{a+b-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} $

Числитель представляет собой полный квадрат разности: $ a-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Знаменатель является разностью квадратов: $ a-b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}) $.

Тогда дробь примет вид:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $

2)

Дано выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{8}}+8}{x^{\frac{1}{4}}+4x^{\frac{1}{8}}} - \frac{x^{\frac{1}{8}}+1}{3x^{\frac{1}{8}}+12} - \frac{6-x^{\frac{1}{8}}}{3x^{\frac{1}{8}}} $

Для удобства введем замену: пусть $ u = x^{\frac{1}{8}} $. Тогда $ x^{\frac{1}{4}} = (x^{\frac{1}{8}})^2 = u^2 $.

Выражение примет вид:

$ \frac{u+8}{u^2+4u} - \frac{u+1}{3u+12} - \frac{6-u}{3u} $

Разложим знаменатели на множители:

$ \frac{u+8}{u(u+4)} - \frac{u+1}{3(u+4)} - \frac{6-u}{3u} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ 3u(u+4) $:

$ \frac{3(u+8)}{3u(u+4)} - \frac{u(u+1)}{3u(u+4)} - \frac{(u+4)(6-u)}{3u(u+4)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{3(u+8) - u(u+1) - (u+4)(6-u)}{3u(u+4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(3u+24) - (u^2+u) - (6u-u^2+24-4u)}{3u(u+4)} = \frac{3u+24 - u^2 - u - (2u-u^2+24)}{3u(u+4)} $

$ \frac{3u+24 - u^2 - u - 2u + u^2 - 24}{3u(u+4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3u-u-2u) + (-u^2+u^2) + (24-24)}{3u(u+4)} = \frac{0}{3u(u+4)} = 0 $

Ответ: $ 0 $

3)

Дано выражение: $ \left( \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}-y^{\frac{2}{3}}}{xy^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y} $

Для удобства введем замену: пусть $ p = x^{\frac{1}{3}} $ и $ q = y^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ p^2 = x^{\frac{2}{3}} $, $ q^2 = y^{\frac{2}{3}} $, $ p^3 = x $, $ q^3 = y $.

Выражение примет вид:

$ \left( \frac{p}{p+q} + \frac{q}{p-q} \right) \cdot \frac{p^2-q^2}{p^3q+pq^3} $

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ (p+q)(p-q) = p^2-q^2 $:

$ \frac{p(p-q) + q(p+q)}{(p+q)(p-q)} = \frac{p^2-pq+pq+q^2}{p^2-q^2} = \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} $

Теперь упростим вторую дробь. Разложим ее знаменатель на множители: $ p^3q+pq^3 = pq(p^2+q^2) $.

Вторая дробь: $ \frac{p^2-q^2}{pq(p^2+q^2)} $.

Перемножим полученные выражения:

$ \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} \cdot \frac{p^2-q^2}{pq(p^2+q^2)} $

Сократим одинаковые множители $ (p^2+q^2) $ и $ (p^2-q^2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{pq} $

Выполним обратную замену $ p=x^{\frac{1}{3}} $ и $ q=y^{\frac{1}{3}} $:

$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{(xy)^{\frac{1}{3}}} $

Ответ: $ \frac{1}{(xy)^{\frac{1}{3}}} $

123. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x-3} = -3;$

2) $\sqrt[3]{2x-3} = -3;$

3) $\sqrt[8]{5-x} = \sqrt[8]{3x-3};$

4) $\sqrt{2x-3} = \sqrt{1-x};$

5) $\sqrt[12]{2x-3} = \sqrt[12]{x^2+x-23};$

6) $\sqrt{2x-3} = 3-2x.$

1) Решим уравнение $\sqrt[4]{2x - 3} = -3$.
По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой степени) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ должно выполняться условие $\sqrt[4]{2x - 3} \ge 0$.
Однако правая часть уравнения равна $-3$, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $\sqrt[3]{2x - 3} = -3$.
Корень нечетной степени (в данном случае, третьей степени) может быть отрицательным числом, поэтому уравнение может иметь решение. Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[3]{2x - 3})^3 = (-3)^3$
$2x - 3 = -27$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$2x = -27 + 3$
$2x = -24$
$x = \frac{-24}{2}$
$x = -12$
Проверка: Подставим $x = -12$ в исходное уравнение: $\sqrt[3]{2(-12) - 3} = \sqrt[3]{-24 - 3} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.
Ответ: -12.

3) Решим уравнение $\sqrt[8]{5 - x} = \sqrt[8]{3x - 3}$.
Поскольку корни имеют четную степень (8), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 5 - x \ge 0 \\ 3x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; 5]$.
Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в восьмую степень:
$(\sqrt[8]{5 - x})^8 = (\sqrt[8]{3x - 3})^8$
$5 - x = 3x - 3$
$5 + 3 = 3x + x$
$8 = 4x$
$x = 2$
Полученное значение $x=2$ принадлежит ОДЗ $[1; 5]$, следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: 2.

4) Решим уравнение $\sqrt{2x - 3} = \sqrt{1 - x}$.
Для существования корней четной степени (квадратных корней) подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 1 \ge x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$
Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно $1.5$ и меньше или равно $1$. Таким образом, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

5) Решим уравнение $\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$.
Так как степени корней четные (12), уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x - 3 = x^2 + x - 23 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases}$
(Условие $x^2 + x - 23 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 + x - 23 = 2x - 3$, а $2x - 3 \ge 0$).
Решим сначала уравнение:
$x^2 + x - 2x - 23 + 3 = 0$
$x^2 - x - 20 = 0$
Используем теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -20. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $2x - 3 \ge 0$.
Для $x_1 = 5$:
$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Так как $7 \ge 0$, корень $x=5$ подходит.
Для $x_2 = -4$:
$2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$. Так как $-11 < 0$, корень $x=-4$ является посторонним.
Единственным решением является $x=5$.
Ответ: 5.

6) Решим уравнение $\sqrt{2x - 3} = 3 - 2x$.
Данное уравнение равносильно системе, учитывающей область определения и неотрицательность правой части:
$\begin{cases} 2x - 3 = (3 - 2x)^2 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases}$
(Условие $2x - 3 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $2x - 3$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).
Решим неравенство:
$3 - 2x \ge 0 \Rightarrow 3 \ge 2x \Rightarrow x \le 1.5$.
Теперь решим уравнение:
$2x - 3 = 9 - 12x + 4x^2$
$4x^2 - 12x - 2x + 9 + 3 = 0$
$4x^2 - 14x + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Сравним найденные корни с условием $x \le 1.5$.
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \le 1.5$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = 1.5$ удовлетворяет условию $1.5 \le 1.5$, значит, это решение уравнения.
Ответ: 1.5.

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{7-x} = x-1;$

2) $\sqrt{2x^2+8x+7} - 2 = x.$

1) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x \le 7 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [1; 7]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$

$7 - x = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [1; 7]$). Корень $x_1 = 3$ принадлежит отрезку $[1; 7]$, значит, он является решением исходного уравнения. Корень $x_2 = -2$ не принадлежит отрезку $[1; 7]$, значит, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7 - 3} = 3 - 1$

$\sqrt{4} = 2$

$2 = 2$ (верно)

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$

Сначала перенесем -2 в правую часть, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы возводим обе части в квадрат и требуем, чтобы правая часть была неотрицательной (так как она равна значению арифметического квадратного корня).

$\begin{cases} 2x^2 + 8x + 7 = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим сначала уравнение системы:

$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2x^2 - x^2) + (8x - 4x) + (7 - 4) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3$

Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Для корня $x_1 = -1$ условие $-1 \ge -2$ является верным, значит, $x = -1$ является решением. Для корня $x_2 = -3$ условие $-3 \ge -2$ является неверным, значит, $x = -3$ — посторонний корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)^2 + 8(-1) + 7} - 2 = -1$

$\sqrt{2 - 8 + 7} - 2 = -1$

$\sqrt{1} - 2 = -1$

$1 - 2 = -1$

$-1 = -1$ (верно)

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -1

125. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(4x - 11)(x - 4)} = x - 4;$

2) $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6.$

1) Решим уравнение $\sqrt{(4x - 11)(x - 4)} = x - 4$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = (g(x))^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$
Применительно к нашему уравнению система выглядит так:
$\begin{cases} (4x-11)(x-4) = (x-4)^2, \\ x-4 \ge 0. \end{cases}$
Из второго условия системы находим: $x \ge 4$.
Теперь решим первое уравнение системы:
$(4x-11)(x-4) = (x-4)^2$
$(4x-11)(x-4) - (x-4)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:
$(x-4) \cdot ((4x-11) - (x-4)) = 0$
$(x-4)(4x-11-x+4) = 0$
$(x-4)(3x-7) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x-4=0 \implies x_1 = 4$
или
$3x-7=0 \implies 3x=7 \implies x_2 = \frac{7}{3}$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$ — верно.
Корень $x_2 = \frac{7}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{7}{3} \approx 2.67$, и неравенство $\frac{7}{3} \ge 4$ — неверно.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $4$.

2) Решим уравнение $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5x + 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.
Преобразуем исходное уравнение, заметив, что $2x-6 = 2(x-3)$:
$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2(x - 3)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-3)$:
$(x - 3)(\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Проверим, входит ли этот корень в ОДЗ. $3 \notin (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$, следовательно, $x=3$ не является решением.
2. $\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 - 5x + 4 = 4$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 5$.
Проверим их на принадлежность ОДЗ:
- Корень $x_3 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $0 \in (-\infty, 1]$.
- Корень $x_4 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $5 \in [4, \infty)$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 5$.