Страница 26 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $18^\circ$;

2) $48^\circ$;

3) $75^\circ$;

4) $300^\circ$.

Для перевода угла из градусов в радианы используется формула, основанная на соотношении, что $180^\circ$ равны $\pi$ радиан. Чтобы найти радианную меру угла, нужно его градусную меру умножить на $\frac{\pi}{180}$.

Формула для перевода: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \times \frac{\pi}{180}$.

1) 18°

Переведем $18^\circ$ в радианы:

$18^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{18\pi}{180}$

Сократим дробь на 18:

$\frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}$

Ответ: $\frac{\pi}{10}$

2) 48°

Переведем $48^\circ$ в радианы:

$48^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{48\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 48 и 180 равен 12:

$\frac{48\pi}{180} = \frac{(12 \times 4)\pi}{12 \times 15} = \frac{4\pi}{15}$

Ответ: $\frac{4\pi}{15}$

3) 75°

Переведем $75^\circ$ в радианы:

$75^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{75\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 75 и 180 равен 15:

$\frac{75\pi}{180} = \frac{(15 \times 5)\pi}{15 \times 12} = \frac{5\pi}{12}$

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$

4) 300°

Переведем $300^\circ$ в радианы:

$300^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{300\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 300 и 180 равен 60:

$\frac{300\pi}{180} = \frac{(60 \times 5)\pi}{60 \times 3} = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $\frac{5\pi}{3}$

141. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{20}$

2) $\frac{4\pi}{5}$

3) $1\frac{2}{3}\pi$

4) $3\pi$

Для того чтобы перевести радианную меру угла в градусную, необходимо использовать формулу, основанную на соотношении, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$:

$\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

где $\alpha_{град}$ — это мера угла в градусах, а $\alpha_{рад}$ — это мера угла в радианах.

Применим эту формулу для каждого из данных значений.

1) $\frac{\pi}{20}$

Чтобы найти градусную меру, умножим данное значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$\frac{\pi}{20} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{20} = 9^\circ$

Ответ: $9^\circ$.

2) $\frac{4\pi}{5}$

Умножим данное значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$\frac{4\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{5} = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $144^\circ$.

3) $1\frac{2}{3}\pi$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$1\frac{2}{3}\pi = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi = \frac{5\pi}{3}$

Теперь умножим полученное значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$\frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} = 5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$

Ответ: $300^\circ$.

4) $3\pi$

Умножим данное значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$3\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Ответ: $540^\circ$.

142. Радиус окружности равен 3 см. Чему равна длина дуги окружности, радианная мера которой составляет:

1) $ \frac{\pi}{4} $;

2) $ \frac{17\pi}{12} $;

3) 6?

Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $L = R \cdot \alpha$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — радианная мера центрального угла, соответствующего этой дуге.

По условию задачи, радиус окружности $R = 3$ см.

1)

Найдём длину дуги, радианная мера которой составляет $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$L = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$ см.

2)

Найдём длину дуги, радианная мера которой составляет $\alpha = \frac{17\pi}{12}$.
$L = 3 \cdot \frac{17\pi}{12} = \frac{51\pi}{12} = \frac{17\pi}{4}$ см.
Ответ: $\frac{17\pi}{4}$ см.

3)

Найдём длину дуги, радианная мера которой составляет $\alpha = 6$ радиан.
$L = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $138^{\circ}$;

2) $-140^{\circ}$;

3) $500^{\circ}$;

4) $-48^{\circ}$;

5) $\frac{\pi}{7}$;

6) $\frac{5\pi}{3}$;

7) $-\frac{11\pi}{6}$;

8) $-1,7\pi$;

9) $2$;

10) $-3$?

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, необходимо проанализировать угол поворота. Начальная точка $P_0(1; 0)$ находится на положительной части оси Ox. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:

• I четверть: от 0° до 90° (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от 90° до 180° (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от 180° до 270° (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от 270° до 360° (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

1) 138°

Угол $\alpha = 138°$. Так как $90° < 138° < 180°$, точка, полученная поворотом на этот угол, находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

2) -140°

Угол $\alpha = -140°$. Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Чтобы найти соответствующий положительный угол, можно прибавить 360° (полный оборот): $-140° + 360° = 220°$. Так как $180° < 220° < 270°$, точка находится в третьей четверти. Ответ: III четверть.

3) 500°

Угол $\alpha = 500°$. Этот угол больше 360°, что соответствует более чем одному полному обороту. Чтобы найти эквивалентный угол в пределах от 0° до 360°, вычтем 360°: $500° - 360° = 140°$. Поскольку $90° < 140° < 180°$, точка находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

4) -48°

Угол $\alpha = -48°$. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив 360°: $-48° + 360° = 312°$. Так как $270° < 312° < 360°$, точка находится в четвертой четверти. Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{7}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$ радиан. Сравним этот угол с границами первой четверти ($0$ и $\frac{\pi}{2}$). Очевидно, что $0 < \frac{\pi}{7}$. Сравним $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{2}$. Так как $7 > 2$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$, и следовательно $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, и точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

6) $\frac{5\pi}{3}$

Угол $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ радиан. Сравним этот угол с границами четвертей в радианах. Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, а $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$, то верно неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$. Следовательно, точка находится в четвертой четверти. Другой способ - преобразовать в градусы: $\frac{5\pi}{3} = \frac{5 \times 180°}{3} = 300°$. Угол 300° находится между 270° и 360°, что соответствует четвертой четверти. Ответ: IV четверть.

7) $-\frac{11\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{11\pi}{6}$ радиан. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, прибавим полный оборот $2\pi$: $-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, значит, точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

8) -1,7$\pi$

Угол $\alpha = -1.7\pi$ радиан. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$: $-1.7\pi + 2\pi = 0.3\pi$. Сравним $0.3\pi$ с границей первой четверти $\frac{\pi}{2} = 0.5\pi$. Так как $0 < 0.3\pi < 0.5\pi$, точка находится в первой четверти. Ответ: I четверть.

9) 2

Угол $\alpha = 2$ радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда границы второй четверти: от $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$ до $\pi \approx 3.14$. Так как $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, точка находится во второй четверти. Ответ: II четверть.

10) -3

Угол $\alpha = -3$ радиана. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$. Используем $\pi \approx 3.14$. Эквивалентный угол равен $-3 + 2\pi \approx -3 + 2 \times 3.14 = -3 + 6.28 = 3.28$ радиан. Сравним полученный угол с границами третьей четверти: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3.14}{2} = 4.71$. Поскольку $3.14 < 3.28 < 4.71$, то есть $\pi < 3.28 < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти. Ответ: III четверть.

144. Углы треугольника относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите радианные меры его углов.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, их отношение составляет $3:8:9$. Это значит, что углы можно выразить через общую меру $x$:

$\alpha = 3x$

$\beta = 8x$

$\gamma = 9x$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, что в радианной мере составляет $\pi$ радиан. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Подставим выражения для углов через $x$:

$3x + 8x + 9x = \pi$

Сложим все части с $x$:

$20x = \pi$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{\pi}{20}$

Зная $x$, мы можем вычислить радианную меру каждого угла:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{3\pi}{20}$

Второй угол: $\beta = 8x = 8 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{8\pi}{20} = \frac{2\pi}{5}$

Третий угол: $\gamma = 9x = 9 \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{9\pi}{20}$

Таким образом, радианные меры углов треугольника равны $\frac{3\pi}{20}$, $\frac{2\pi}{5}$ и $\frac{9\pi}{20}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{20}$, $\frac{2\pi}{5}$, $\frac{9\pi}{20}$.

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точ-ку $P_0(-1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1)$;

2) $(1; 0)$;

3) $(0; -1)$;

4) $(-1; 0)$.

Для решения задачи воспользуемся единичной окружностью. Начальная точка $P_0(-1; 0)$ расположена на отрицательной части оси Ox и соответствует углу $\pi$ радиан (или $180^\circ$). Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Общий подход заключается в определении угла $\alpha_f$, соответствующего конечной точке, и вычислении угла поворота $\alpha$ по формуле $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k$, где $\alpha_0 = \pi$ - начальный угол, а $k$ — любое целое число, отвечающее за количество полных оборотов. Затем для каждого случая мы найдем наименьшее положительное значение $\alpha$ (при наименьшем целом $k$, для которого $\alpha > 0$) и наибольшее отрицательное значение $\alpha$ (при наибольшем целом $k$, для которого $\alpha < 0$).

1) (0; 1)

Конечная точка $P_1(0; 1)$ находится на положительной части оси Oy и соответствует углу $\alpha_f = \frac{\pi}{2}$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{\pi}{2} - \pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
- Чтобы найти наименьший положительный угол, ищем наименьшее целое $k$, при котором $\alpha > 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > \frac{\pi}{2} \Rightarrow k > \frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $k$ в этом случае — $k=1$. Угол поворота: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
- Чтобы найти наибольший отрицательный угол, ищем наибольшее целое $k$, при котором $\alpha < 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < \frac{\pi}{2} \Rightarrow k < \frac{1}{4}$.
Наибольшее целое $k$ в этом случае — $k=0$. Угол поворота: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол $\frac{3\pi}{2}$, наибольший отрицательный угол $-\frac{\pi}{2}$.

2) (1; 0)

Конечная точка $P_2(1; 0)$ находится на положительной части оси Ox и соответствует углу $\alpha_f = 0$ (или $2\pi$). Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = 0 - \pi + 2\pi k = -\pi + 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$-\pi + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > \pi \Rightarrow k > \frac{1}{2}$.
Наименьшее целое $k=1$. Угол поворота: $\alpha = -\pi + 2\pi \cdot 1 = \pi$.
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$-\pi + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < \pi \Rightarrow k < \frac{1}{2}$.
Наибольшее целое $k=0$. Угол поворота: $\alpha = -\pi + 2\pi \cdot 0 = -\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол $\pi$, наибольший отрицательный угол $-\pi$.

3) (0; -1)

Конечная точка $P_3(0; -1)$ находится на отрицательной части оси Oy и соответствует углу $\alpha_f = \frac{3\pi}{2}$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} - \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 \Rightarrow 2\pi k > -\frac{\pi}{2} \Rightarrow k > -\frac{1}{4}$.
Наименьшее целое $k=0$. Угол поворота: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 \Rightarrow 2\pi k < -\frac{\pi}{2} \Rightarrow k < -\frac{1}{4}$.
Наибольшее целое $k=-1$. Угол поворота: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол $\frac{\pi}{2}$, наибольший отрицательный угол $-\frac{3\pi}{2}$.

4) (-1; 0)

Конечная точка $P_4(-1; 0)$ совпадает с начальной и соответствует углу $\alpha_f = \pi$. Найдем все возможные углы поворота $\alpha$:
$\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k = \pi - \pi + 2\pi k = 2\pi k$.
- Наименьший положительный угол ($\alpha > 0$):
$2\pi k > 0 \Rightarrow k > 0$.
Наименьшее целое $k=1$. Угол поворота: $\alpha = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. (Угол $0$ не является положительным).
- Наибольший отрицательный угол ($\alpha < 0$):
$2\pi k < 0 \Rightarrow k < 0$.
Наибольшее целое $k=-1$. Угол поворота: $\alpha = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол $2\pi$, наибольший отрицательный угол $-2\pi$.

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (0; 1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2 \left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Для решения задачи будем использовать тригонометрическую окружность, где координаты точки, соответствующей углу $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Начальная точка $P_0(0; 1)$ соответствует углу $\alpha_0$, для которого $\cos \alpha_0 = 0$ и $\sin \alpha_0 = 1$. Отсюда следует, что основной угол $\alpha_0 = \frac{\pi}{2}$. Чтобы найти все углы поворота $\theta$ из точки $P_0$ в некоторую точку $P_k$ с соответствующим ей углом $\alpha_k$, нужно найти разность этих углов и учесть все возможные полные обороты (положительные и отрицательные). Таким образом, искомый угол поворота $\theta = \alpha_k - \alpha_0 + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

1) Найдём угол $\alpha_1$, соответствующий точке $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Из координат точки следует, что $\cos \alpha_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \alpha_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим условиям в интервале $[0, 2\pi)$ соответствует угол $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$. Теперь вычислим все искомые углы поворота $\theta_1$:
$\theta_1 = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi n = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi - 2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Найдём угол $\alpha_2$, соответствующий точке $P_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Из координат точки следует, что $\cos \alpha_2 = -\frac{1}{2}$ и $\sin \alpha_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как косинус отрицателен, а синус положителен, угол находится во второй координатной четверти. Этим условиям в интервале $[0, 2\pi)$ соответствует угол $\alpha_2 = \frac{2\pi}{3}$. Теперь вычислим все искомые углы поворота $\theta_2$:
$\theta_2 = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{4\pi - 3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k;$

2) $-\frac{\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

4) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам:

$x = \cos(\alpha)$

$y = \sin(\alpha)$

Рассмотрим каждый случай.

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Функции синус и косинус имеют период $2\pi$, поэтому прибавление к углу $2\pi k$ (где $k$ — целое число) не изменяет положение точки на окружности. Таким образом, координаты точки будут такими же, как и при повороте на угол $\frac{\pi}{3}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, для любого целого $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

2) $-\frac{\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 4\pi k$.

Поскольку $4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$, это также соответствует целому числу полных оборотов, и положение точки на окружности определяется только углом $-\frac{\pi}{4}$.

$x = \cos(-\frac{\pi}{4} + 4\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{4})$

$y = \sin(-\frac{\pi}{4} + 4\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$):

$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

3) $\pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точек для угла $\alpha = \pi + \pi k$. В этом случае положение точки зависит от четности $k$.

Если $k$ — четное число ($k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то угол равен $\alpha = \pi + 2\pi n$.

$x = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$

Получаем точку $(-1; 0)$.

Если $k$ — нечетное число ($k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то угол равен $\alpha = \pi + \pi(2n + 1) = 2\pi + 2\pi n = 2\pi(n+1)$.

$x = \cos(2\pi(n+1)) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi(n+1)) = \sin(0) = 0$

Получаем точку $(1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$

4) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Найдем координаты точек для угла $\alpha = \frac{\pi k}{4}$. Положение точки на единичной окружности повторяется с периодом $2\pi$. Найдем, при каком $k$ произойдет полный оборот: $\frac{\pi k}{4} = 2\pi \implies k = 8$. Это означает, что мы получим 8 различных точек для $k$ от 0 до 7. Для других значений $k$ точки будут повторяться.

Вычислим координаты для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$:

При $k=0$: $(\cos(0), \sin(0)) = (1, 0)$

При $k=1$: $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=2$: $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$

При $k=3$: $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=4$: $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$

При $k=5$: $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

При $k=6$: $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$

При $k=7$: $(\cos(\frac{7\pi}{4}), \sin(\frac{7\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; 1)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; -1)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

148. Найдите площадь сектора круга радиуса 4 см, если радианная мера дуги, соответствующей этому сектору, составляет:

1) $\frac{5\pi}{6}$;

2) $\frac{5\pi}{8}$;

3) $\frac{7\pi}{6}$;

4) 5.

1) Для нахождения площади сектора круга используется формула $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$, где $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — это радианная мера дуги, соответствующей сектору.
По условию задачи, радиус $R = 4$ см, а радианная мера дуги $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{5\pi}{6} = 8 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{40\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$ см².
Ответ: $\frac{20\pi}{3}$ см².

2) Используем ту же формулу площади сектора: $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$.
В этом случае радиус $R = 4$ см, а радианная мера дуги $\alpha = \frac{5\pi}{8}$.
Вычисляем площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{5\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{5\pi}{8} = 8 \cdot \frac{5\pi}{8} = 5\pi$ см².
Ответ: $5\pi$ см².

3) Снова применяем формулу $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$.
Дано: радиус $R = 4$ см, радианная мера дуги $\alpha = \frac{7\pi}{6}$.
Подставляем значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{7\pi}{6} = 8 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{56\pi}{6} = \frac{28\pi}{3}$ см².
Ответ: $\frac{28\pi}{3}$ см².

4) Применяем формулу $S = \frac{1}{2} R^2 \alpha$ для последнего случая.
Радиус $R = 4$ см, а радианная мера дуги $\alpha = 5$.
Подставляем значения и вычисляем:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$ см².
Ответ: $40$ см².