Страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 3 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[6]{x} - 5 = 0;$

3) $x - 8\sqrt[4]{x} = 0;$

4) $\sqrt{x + 3} - 3\sqrt[4]{x + 3} + 2 = 0;$

5) $\sqrt[3]{x^2 - 2x + 1} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0.$

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как корень четной степени, то $t \geq 0$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 4$

$t_1 \cdot t_2 = 3$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$. Возведя обе части в 4-ю степень, получаем $x = 1^4 = 1$.

2. Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$. Возведя обе части в 4-ю степень, получаем $x = 3^4 = 81$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 81.

2) $\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[6]{x} - 5 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$ (из-за наличия корня 6-й степени).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

$t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому он является посторонним. Используем только $t_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 5$

Возведем обе части в 6-ю степень:

$x = 5^6 = 15625$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 15625.

3) $x - 8\sqrt[4]{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$.

Заметим, что $x = (\sqrt[4]{x})^4$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^4 - 8t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t^3 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $t = 0$

2. $t^3 - 8 = 0 \implies t^3 = 8 \implies t = \sqrt[3]{8} = 2$

Оба корня $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$ удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt[4]{x} = 0 \implies x = 0$.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2 \implies x = 2^4 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 16.

4) $\sqrt{x + 3} - 3\sqrt[4]{x + 3} + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3$.

Заметим, что $\sqrt{x+3} = (\sqrt[4]{x+3})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x + 3}$. Тогда $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = 2$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x + 3} = 1 \implies x + 3 = 1^4 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x + 3} = 2 \implies x + 3 = 2^4 \implies x + 3 = 16 \implies x = 13$.

Оба корня $x = -2$ и $x = 13$ удовлетворяют ОДЗ ($x \geq -3$).

Ответ: -2; 13.

5) $\sqrt[3]{x^2 - 2x + 1} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$

Заметим, что подкоренное выражение в первом слагаемом является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{(x - 1)^2} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$

Это можно записать как $(\sqrt[3]{x - 1})^2 + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x - 1}$. Для корня нечетной степени ограничений на $t$ нет.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Найдем корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[3]{x - 1} = 1 \implies x - 1 = 1^3 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.

2. Если $t = -4$, то $\sqrt[3]{x - 1} = -4 \implies x - 1 = (-4)^3 \implies x - 1 = -64 \implies x = -63$.

Ответ: -63; 2.

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+10} - \sqrt{x-5} = 3;$

2) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2;$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8;$

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5;$

5) $\sqrt{3x+10} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{2x+12};$

6) $\sqrt{2x+7} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x+3}.$

1) $\sqrt{x+10} - \sqrt{x-5} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x + 10 \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge 5 \end{cases} \Rightarrow x \ge 5$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:
$\sqrt{x+10} = 3 + \sqrt{x-5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+10})^2 = (3 + \sqrt{x-5})^2$
$x+10 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-5} + (\sqrt{x-5})^2$
$x+10 = 9 + 6\sqrt{x-5} + x-5$

Приведем подобные слагаемые и выразим оставшийся корень:
$x+10 = x+4 + 6\sqrt{x-5}$
$10 - 4 = 6\sqrt{x-5}$
$6 = 6\sqrt{x-5}$
$1 = \sqrt{x-5}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-5})^2$
$1 = x-5$
$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.
$x=6$ принадлежит области $x \ge 5$.
Выполним проверку, подставив $x=6$ в исходное уравнение:
$\sqrt{6+10} - \sqrt{6-5} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.
$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $x=6$.

2) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2$

ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 8 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x \ge -8 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

Перенесем корень в правую часть:
$\sqrt{4x+8} = 2 + \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:
$4x+8 = (2 + \sqrt{3x-2})^2$
$4x+8 = 4 + 4\sqrt{3x-2} + 3x-2$
$4x+8 = 3x+2 + 4\sqrt{3x-2}$

Уединим корень:
$4x-3x+8-2 = 4\sqrt{3x-2}$
$x+6 = 4\sqrt{3x-2}$

Снова возведем в квадрат. Так как $x \ge \frac{2}{3}$, то левая часть $x+6$ всегда положительна.
$(x+6)^2 = (4\sqrt{3x-2})^2$
$x^2 + 12x + 36 = 16(3x-2)$
$x^2 + 12x + 36 = 48x - 32$
$x^2 - 36x + 68 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36-32}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{36+32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

Оба корня $x_1=2$ и $x_2=34$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$).
Проверка для $x=2$: $\sqrt{4\cdot2+8} - \sqrt{3\cdot2-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2=2$. Верно.
Проверка для $x=34$: $\sqrt{4\cdot34+8} - \sqrt{3\cdot34-2} = \sqrt{136+8} - \sqrt{102-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12-10=2$. Верно.

Ответ: $x=2; x=34$.

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow x \ge -\frac{1}{3}$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{3x+1} = 8 - \sqrt{x+1}$

Возведем в квадрат. Правая часть должна быть неотрицательной: $8 - \sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \le 8 \Rightarrow x+1 \le 64 \Rightarrow x \le 63$.
$(\sqrt{3x+1})^2 = (8 - \sqrt{x+1})^2$
$3x+1 = 64 - 16\sqrt{x+1} + x+1$
$3x+1 = x+65 - 16\sqrt{x+1}$

Выразим оставшийся корень:
$16\sqrt{x+1} = x-3x+65-1$
$16\sqrt{x+1} = -2x+64$
$8\sqrt{x+1} = -x+32$

Возведем в квадрат. Правая часть должна быть неотрицательной: $-x+32 \ge 0 \Rightarrow x \le 32$.
$(8\sqrt{x+1})^2 = (32-x)^2$
$64(x+1) = 1024 - 64x + x^2$
$64x + 64 = 1024 - 64x + x^2$
$x^2 - 128x + 960 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544 = 112^2$
$x_1 = \frac{128-112}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{128+112}{2} = \frac{240}{2} = 120$

Проверим корни. ОДЗ $x \ge -\frac{1}{3}$. Дополнительное условие $x \le 32$.
$x_1=8$ удовлетворяет всем условиям.
$x_2=120$ не удовлетворяет условию $x \le 32$, является посторонним корнем.
Проверка для $x=8$: $\sqrt{8+1} + \sqrt{3\cdot8+1} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3+5=8$. Верно.

Ответ: $x=8$.

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5$

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 16 - 3x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ 3x \le 16 \end{cases} \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{16}{3}$.

Уединим один из корней и возведем в квадрат:
$\sqrt{16-3x} = 5 - \sqrt{3x+1}$
$16-3x = (5 - \sqrt{3x+1})^2$
$16-3x = 25 - 10\sqrt{3x+1} + 3x+1$
$16-3x = 26+3x - 10\sqrt{3x+1}$

Выразим корень:
$10\sqrt{3x+1} = 26+3x - 16+3x$
$10\sqrt{3x+1} = 6x+10$
$5\sqrt{3x+1} = 3x+5$

Снова возведем в квадрат. Правая часть $3x+5$ должна быть неотрицательной. $3x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{5}{3}$. Это условие выполняется в рамках ОДЗ.
$(5\sqrt{3x+1})^2 = (3x+5)^2$
$25(3x+1) = 9x^2 + 30x + 25$
$75x+25 = 9x^2 + 30x + 25$
$9x^2 - 45x = 0$
$9x(x-5)=0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=5$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ $[-\frac{1}{3}, \frac{16}{3}]$. $\frac{16}{3} \approx 5.33$.
$x_1=0$ входит в ОДЗ.
$x_2=5$ входит в ОДЗ.
Проверка для $x=0$: $\sqrt{3\cdot0+1} + \sqrt{16-3\cdot0} = \sqrt{1} + \sqrt{16} = 1+4=5$. Верно.
Проверка для $x=5$: $\sqrt{3\cdot5+1} + \sqrt{16-3\cdot5} = \sqrt{16} + \sqrt{1} = 4+1=5$. Верно.

Ответ: $x=0; x=5$.

5) $\sqrt{3x+10} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{2x+12}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 3x+10 \ge 0 \Rightarrow x \ge -10/3 \\ 5x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6/5 \\ 6x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2/3 \\ 2x+12 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6 \end{cases} \Rightarrow x \ge -\frac{2}{3}$.

Перегруппируем слагаемые:
$\sqrt{3x+10} - \sqrt{2x+12} = \sqrt{6x+4} - \sqrt{5x+6}$

Заметим, что $x=2$ является корнем уравнения:
$\sqrt{3\cdot2+10} + \sqrt{5\cdot2+6} = \sqrt{16} + \sqrt{16} = 4+4=8$
$\sqrt{6\cdot2+4} + \sqrt{2\cdot2+12} = \sqrt{16} + \sqrt{16} = 4+4=8$
Равенство $8=8$ верное.

Докажем, что других корней нет. Разделим обе части перегруппированного уравнения на $(x-2)$, предполагая $x \ne 2$. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой части на сопряженное выражение:
$\frac{(\sqrt{3x+10} - \sqrt{2x+12})(\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12})}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{(\sqrt{6x+4} - \sqrt{5x+6})(\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6})}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\frac{(3x+10) - (2x+12)}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{(6x+4) - (5x+6)}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\frac{x-2}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{x-2}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $(x-2)$ за скобки:
$(x-2) \left( \frac{1}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} - \frac{1}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}} \right) = 0$

Это равенство выполняется, если $x-2=0$ (что дает корень $x=2$) или если выражение в скобках равно нулю.
$\frac{1}{\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12}} = \frac{1}{\sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}}$
$\sqrt{3x+10} + \sqrt{2x+12} = \sqrt{6x+4} + \sqrt{5x+6}$
Сравним функции в знаменателях.
При $x > 2$: $6x+4 > 3x+10$ (так как $3x>6$) и $5x+6 > 2x+12$ (так как $3x>6$). Значит, $\sqrt{6x+4} > \sqrt{3x+10}$ и $\sqrt{5x+6} > \sqrt{2x+12}$. Следовательно, правый знаменатель больше левого, и равенство невозможно.
При $-\frac{2}{3} \le x < 2$: $6x+4 < 3x+10$ и $5x+6 < 2x+12$. Правый знаменатель меньше левого, равенство также невозможно.
Таким образом, выражение в скобках не может быть равно нулю при $x \ne 2$.

Ответ: $x=2$.

6) $\sqrt{2x+7} + \sqrt{x} = 2\sqrt{x+3}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 2x+7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3.5 \\ x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3 \end{cases} \Rightarrow x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+7} + \sqrt{x})^2 = (2\sqrt{x+3})^2$
$(2x+7) + 2\sqrt{x(2x+7)} + x = 4(x+3)$
$3x+7 + 2\sqrt{2x^2+7x} = 4x+12$

Уединим оставшийся корень:
$2\sqrt{2x^2+7x} = 4x+12 - 3x - 7$
$2\sqrt{2x^2+7x} = x+5$

По ОДЗ $x \ge 0$, поэтому правая часть $x+5$ всегда положительна. Снова возводим в квадрат:
$(2\sqrt{2x^2+7x})^2 = (x+5)^2$
$4(2x^2+7x) = x^2+10x+25$
$8x^2+28x = x^2+10x+25$
$7x^2+18x-25 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25) = 324 + 700 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{-18-32}{2 \cdot 7} = \frac{-50}{14} = -\frac{25}{7}$
$x_2 = \frac{-18+32}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 0$).
$x_1 = -\frac{25}{7}$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Проверка для $x=1$:
Левая часть: $\sqrt{2\cdot1+7} + \sqrt{1} = \sqrt{9}+1 = 3+1=4$.
Правая часть: $2\sqrt{1+3} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 + \sqrt{x^2 + 11} = 31$;

2) $2x^2 + 3x - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3 = 0$;

3) $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2$;

4) $x\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x^3} = 2$;

5) $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0.$

1) $x^2 + \sqrt{x^2 + 11} = 31$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x^2 + 11}$.

Так как $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = x^2 + 11$, откуда выразим $x^2 = y^2 - 11$.

Подставим $y$ и выражение для $x^2$ в исходное уравнение:

$(y^2 - 11) + y = 31$

Получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 42 = 0$

Решим его с помощью теоремы Виета. Найдем корни $y_1$ и $y_2$:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -42$

Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -7$.

Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_2 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается $y = 6$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 11} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 11 = 36$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Ответ: $x = \pm 5$.

2) $2x^2 + 3x - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}$. Условие: $y \ge 0$.

Возведем замену в квадрат: $y^2 = 2x^2 + 3x + 9$, откуда $2x^2 + 3x = y^2 - 9$.

Подставим в исходное уравнение:

$(y^2 - 9) - 5y + 3 = 0$

$y^2 - 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 5$

$y_1 \cdot y_2 = -6$

Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, используем только $y = 6$.

Выполним обратную замену:

$2x^2 + 3x = y^2 - 9$

$2x^2 + 3x = 6^2 - 9$

$2x^2 + 3x = 27$

$2x^2 + 3x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 15}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -4.5$.

3) $\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} + \sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны быть равны нулю:

$\frac{2-x}{x+4} > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-4, 2)$.

Пусть $y = \sqrt{\frac{2-x}{x+4}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+4}{2-x}} = \frac{1}{y}$.

Так как $y$ - корень, то $y>0$.

Уравнение принимает вид:

$y + \frac{1}{y} = 2$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 1 = 2y$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y-1)^2 = 0$

Отсюда $y = 1$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} = 1$

Возведем в квадрат:

$\frac{2-x}{x+4} = 1$

$2-x = x+4$

$2x = -2$

$x = -1$

Найденный корень $x=-1$ принадлежит ОДЗ $(-4, 2)$.

Ответ: $x = -1$.

4) $x\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x^3} = 2$

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

$x^1 \cdot x^{1/5} - x^{3/5} = 2$

$x^{6/5} - x^{3/5} = 2$

Заметим, что $x^{6/5} = (x^{3/5})^2$. Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/5}$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = 2$

$x^{3/5} = 2$

$(\sqrt[5]{x})^3 = 2$

$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{2}$

$x = (\sqrt[3]{2})^5 = 2^{5/3} = \sqrt[3]{32}$

Случай 2: $y_2 = -1$

$x^{3/5} = -1$

$(\sqrt[5]{x})^3 = -1$

$\sqrt[5]{x} = -1$

$x = (-1)^5 = -1$

Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{32}$, $x_2 = -1$.

5) $5x^2 - 20x + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$

Вынесем 5 за скобки в первых двух слагаемых:

$5(x^2 - 4x) + 6 - 2\sqrt{x^2 - 4x + 9} = 0$

Видно, что выражение $x^2 - 4x$ повторяется. Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 4x + 9}$.

Условие: $y \ge 0$.

Возведем замену в квадрат: $y^2 = x^2 - 4x + 9$, откуда $x^2 - 4x = y^2 - 9$.

Подставим в уравнение:

$5(y^2 - 9) + 6 - 2y = 0$

$5y^2 - 45 + 6 - 2y = 0$

$5y^2 - 2y - 39 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:

$D = (-2)^2 - 4(5)(-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$

$y = \frac{2 \pm 28}{10}$

$y_1 = \frac{2 + 28}{10} = 3$

$y_2 = \frac{2 - 28}{10} = -2.6$

Корень $y_2 = -2.6$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Используем $y = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 4x = y^2 - 9$

$x^2 - 4x = 3^2 - 9$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

129. Решите уравнение $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6.$

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы уравнение имело смысл, все выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными.
Во-первых, выражение под внутренним корнем: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.
Во-вторых, выражения под внешними корнями:
а) $x + 2\sqrt{x-1} \ge 0$. При $x \ge 1$ это неравенство всегда выполняется, так как $x > 0$ и $2\sqrt{x-1} \ge 0$.
б) $x - 2\sqrt{x-1} \ge 0$. Перенесем второе слагаемое вправо: $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Поскольку при $x \ge 1$ обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1)$, что равносильно $x^2 - 4x + 4 \ge 0$, или $(x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа.
Таким образом, область допустимых значений для $x$ определяется условием $x \ge 1$.

2. Упрощение подкоренных выражений

Заметим, что подкоренные выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для первого слагаемого:$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 1 + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1|$. Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $\sqrt{x-1} + 1 > 0$, следовательно, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Для второго слагаемого:$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 1 - 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} - 1|$.

3. Решение преобразованного уравнения

После упрощения исходное уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + |\sqrt{x-1} - 1| = 6$.
Для решения этого уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$.
Это неравенство выполняется при $\sqrt{x-1} \ge 1$, то есть $x-1 \ge 1$, откуда $x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$. Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 6$
$2\sqrt{x-1} = 6$
$\sqrt{x-1} = 3$
Возведя обе части в квадрат, получаем $x-1 = 9$, откуда $x = 10$.
Полученное значение $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является корнем уравнения.
Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0$.
Это неравенство выполняется при $\sqrt{x-1} < 1$, то есть $0 \le x-1 < 1$, откуда $1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$. Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = 6$
$2 = 6$
Получено неверное равенство, что означает, что в интервале $[1, 2)$ уравнение корней не имеет.

4. Проверка и ответ

Единственным найденным решением является $x=10$. Выполним проверку, подставив это значение в исходное уравнение:
$\sqrt{10 + 2\sqrt{10-1}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{10-1}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{9}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{9}} = \sqrt{10+6} + \sqrt{10-6} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4+2=6$.
$6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: $10$

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x-3} = \sqrt[10]{1-x};$

2) $\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{x-2} = \sqrt{7};$

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{21-3x} = 2x;$

4) $\sqrt{3x-5} = \frac{x-1}{\sqrt{x-2}};$

1) $\sqrt[4]{2x - 3} = \sqrt[10]{1 - x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x \ge 3 \\ -x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 1 \end{cases}$

Система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 1.5 и меньше или равно 1. Следовательно, область допустимых значений является пустым множеством.

Так как ОДЗ пуста, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{x - 2} = \sqrt{7}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для $a \ge 0, b \ge 0$, объединим корни в левой части уравнения:

$\sqrt{(x + 4)(x - 2)} = \sqrt{7}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(x + 4)(x - 2) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 4x - 8 = 7$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 2$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 2$), поэтому является посторонним корнем.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 3.

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{21 - 3x} = 2x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 21 - 3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 21 \ge 3x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 7 \ge x \end{cases} \implies 0 \le x \le 7$.

Также заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже учтено в ОДЗ.

Объединим корни в левой части:

$\sqrt{x(21 - 3x)} = 2x$

Возведем обе части в квадрат:

$x(21 - 3x) = (2x)^2$

$21x - 3x^2 = 4x^2$

$7x^2 - 21x = 0$

Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$7x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($0 \le 0 \le 7$ и $0 \le 3 \le 7$). Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

При $x=0$: $\sqrt{0} \cdot \sqrt{21 - 3 \cdot 0} = 2 \cdot 0 \implies 0 \cdot \sqrt{21} = 0 \implies 0 = 0$. Корень подходит.

При $x=3$: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{21 - 3 \cdot 3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$. Правая часть: $2 \cdot 3 = 6$. Равенство $6 = 6$ верное, корень подходит.

Ответ: 0; 3.

4) $\sqrt{3x - 5} = \frac{x - 1}{\sqrt{x - 2}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$ (знак строгий, так как корень находится в знаменателе).

$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

При $x > 2$ все части уравнения имеют смысл и являются положительными. Умножим обе части на $\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{3x - 5} \cdot \sqrt{x - 2} = x - 1$

$\sqrt{(3x - 5)(x - 2)} = x - 1$

Возведем обе части в квадрат:

$(3x - 5)(x - 2) = (x - 1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).

$x_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию ($1.5 \ngtr 2$), является посторонним корнем.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 3.