Страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x:$

1) $A \left( \frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3} \right);$

2) $B \left( -\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3} \right);$

3) $C \left( \frac{9\pi}{4}; 1 \right);$

4) $D \left( -\frac{7\pi}{2}; 0 \right);$

5) $E \left( \frac{10\pi}{3}; \sqrt{3} \right)?$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y=f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $f(x_0)$ с $y_0$.

1) y = tg x

Проверим каждую из заданных точек:

• Точка A($\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = \text{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции совпадает с ординатой точки A, следовательно, точка A принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

• Точка B($-\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y = \text{tg}(-\frac{4\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{4\pi}{3}) = -\text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$. Значение функции $-\sqrt{3}$ не совпадает с ординатой точки B $\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка B не принадлежит графику.

• Точка C($\frac{9\pi}{4}; 1$). Найдем значение функции при $x = \frac{9\pi}{4}$: $y = \text{tg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Значение функции совпадает с ординатой точки C, следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

• Точка D($-\frac{7\pi}{2}; 0$). Найдем значение функции при $x = -\frac{7\pi}{2}$. Функция $y = \text{tg } x$ не определена в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $x = -\frac{7\pi}{2}$ имеем: $-\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 4\pi$, что соответствует $k = -4$. Следовательно, в этой точке функция не определена, и точка D не принадлежит графику.

• Точка E($\frac{10\pi}{3}; \sqrt{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{10\pi}{3}$: $y = \text{tg}(\frac{10\pi}{3}) = \text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Значение функции совпадает с ординатой точки E, следовательно, точка E принадлежит графику функции $y = \text{tg } x$.

Ответ: Графику функции $y = \text{tg } x$ принадлежат точки A, C, E.

2) y = ctg x

Проверим каждую из заданных точек:

• Точка A($\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = \text{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. Значение функции $-\sqrt{3}$ не совпадает с ординатой точки A $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка A не принадлежит графику.

• Точка B($-\frac{4\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$). Найдем значение функции при $x = -\frac{4\pi}{3}$: $y = \text{ctg}(-\frac{4\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{4\pi}{3}) = -\text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ не совпадает с ординатой точки B $\frac{\sqrt{3}}{3}$, следовательно, точка B не принадлежит графику.

• Точка C($\frac{9\pi}{4}; 1$). Найдем значение функции при $x = \frac{9\pi}{4}$: $y = \text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Значение функции совпадает с ординатой точки C, следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = \text{ctg } x$.

• Точка D($-\frac{7\pi}{2}; 0$). Найдем значение функции при $x = -\frac{7\pi}{2}$: $y = \text{ctg}(-\frac{7\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{8\pi-\pi}{2}) = \text{ctg}(-4\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Значение функции совпадает с ординатой точки D, следовательно, точка D принадлежит графику функции $y = \text{ctg } x$.

• Точка E($\frac{10\pi}{3}; \sqrt{3}$). Найдем значение функции при $x = \frac{10\pi}{3}$: $y = \text{ctg}(\frac{10\pi}{3}) = \text{ctg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции $\frac{\sqrt{3}}{3}$ не совпадает с ординатой точки E $\sqrt{3}$, следовательно, точка E не принадлежит графику.

Ответ: Графику функции $y = \text{ctg } x$ принадлежат точки C, D.

174. На промежутке $ \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right] $ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x;$

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x.$

1) нули функции $y = \tg x$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \tg x$ нам нужно решить уравнение $\tg x = 0$.

Функция тангенс определяется как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Следовательно, $\tg x = 0$ тогда и только тогда, когда числитель $\sin x = 0$ (при условии, что знаменатель $\cos x \neq 0$, что выполняется для этих значений $x$).

Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в формулу $x = \pi n$:

• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{\pi}{4}$.
• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le 0 \le \frac{7\pi}{4}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \pi \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $1\pi \le 1.75\pi$).
• При $n = 2$, $x = 2\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $2\pi > \frac{7\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном промежутке нулями функции являются $0$ и $\pi$.

Ответ: $0; \pi$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \tg x$

Область определения функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ включает все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель $\cos x$ равен нулю.

Нам нужно найти значения $x$, для которых $\cos x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти все такие значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$ в формулу $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $-0.25\pi \le 0.5\pi \le 1.75\pi$).
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$ (поскольку $-0.25\pi \le 1.5\pi \le 1.75\pi$).
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{5\pi}{2} > \frac{7\pi}{4}$.

Таким образом, на заданном промежутке в область определения функции не входят числа $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

175. Сравните:

1) $tg \frac{23\pi}{12}$ и $tg \frac{13\pi}{7}$;

2) $tg (-182^\circ)$ и $tg (-183^\circ)$;

3) $tg 5$ и $tg 6$;

4) $ctg (-\frac{11\pi}{10})$ и $ctg (-\frac{12\pi}{11})$;

5) $ctg 223^\circ$ и $ctg 222^\circ$;

6) $ctg (-1)$ и $ctg (-1,5)$.

1) tg(23π/12) и tg(13π/7)
Для сравнения значений тригонометрических функций приведем их аргументы к одному интервалу, используя периодичность функции тангенса ($T=\pi$).
Преобразуем первый аргумент: $tg\frac{23\pi}{12} = tg(\frac{24\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{12}) = tg(-\frac{\pi}{12})$.
Преобразуем второй аргумент: $tg\frac{13\pi}{7} = tg(\frac{14\pi}{7} - \frac{\pi}{7}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{7}) = tg(-\frac{\pi}{7})$.
Теперь нужно сравнить $tg(-\frac{\pi}{12})$ и $tg(-\frac{\pi}{7})$.
Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{12}$ и $-\frac{\pi}{7}$, принадлежат этому интервалу.
Сравним сами углы: поскольку $\frac{1}{12} < \frac{1}{7}$, то $-\frac{1}{12} > -\frac{1}{7}$.
Так как функция тангенса на этом интервале возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{12}) > tg(-\frac{\pi}{7})$.
Таким образом, $tg\frac{23\pi}{12} > tg\frac{13\pi}{7}$.
Ответ: $tg\frac{23\pi}{12} > tg\frac{13\pi}{7}$.

2) tg(-182°) и tg(-183°)
Используем периодичность тангенса ($T=180°$):
$tg(-182°) = tg(-182° + 180°) = tg(-2°)$.
$tg(-183°) = tg(-183° + 180°) = tg(-3°)$.
Теперь сравним $tg(-2°)$ и $tg(-3°)$.
Функция $y = tg(x)$ возрастает на интервале $(-90°, 90°)$. Оба угла, $-2°$ и $-3°$, принадлежат этому интервалу.
Сравним аргументы: $-2° > -3°$.
Поскольку функция тангенса возрастает, то $tg(-2°) > tg(-3°)$.
Следовательно, $tg(-182°) > tg(-183°)$.
Ответ: $tg(-182°) > tg(-183°)$.

3) tg 5 и tg 6
Оценим, в каких четвертях лежат углы 5 и 6 радиан. Используем приближение $\pi \approx 3.14159$.
$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.
Оба угла, 5 и 6, находятся в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, что соответствует IV координатной четверти.
На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей.
Сравниваем аргументы: $5 < 6$.
Так как функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg(5) < tg(6)$.
Ответ: $tg 5 < tg 6$.

4) ctg(-11π/10) и ctg(-12π/11)
Используем нечетность функции котангенса ($ctg(-x) = -ctg(x)$) и ее периодичность ($T=\pi$).
$ctg(-\frac{11\pi}{10}) = -ctg(\frac{11\pi}{10}) = -ctg(\pi + \frac{\pi}{10}) = -ctg(\frac{\pi}{10})$.
$ctg(-\frac{12\pi}{11}) = -ctg(\frac{12\pi}{11}) = -ctg(\pi + \frac{\pi}{11}) = -ctg(\frac{\pi}{11})$.
Сравним $-ctg(\frac{\pi}{10})$ и $-ctg(\frac{\pi}{11})$. Для этого сначала сравним $ctg(\frac{\pi}{10})$ и $ctg(\frac{\pi}{11})$.
Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Углы $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{11}$ принадлежат этому интервалу.
Сравним аргументы: $\frac{1}{10} > \frac{1}{11}$, следовательно, $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{11}$.
Так как функция котангенса убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $ctg(\frac{\pi}{10}) < ctg(\frac{\pi}{11})$.
Теперь умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-ctg(\frac{\pi}{10}) > -ctg(\frac{\pi}{11})$.
Таким образом, $ctg(-\frac{11\pi}{10}) > ctg(-\frac{12\pi}{11})$.
Ответ: $ctg(-\frac{11\pi}{10}) > ctg(-\frac{12\pi}{11})$.

5) ctg 223° и ctg 222°
Оба угла, $223°$ и $222°$, находятся в интервале $(180°, 270°)$, что соответствует III координатной четверти.
На этом интервале функция $y = ctg(x)$ является убывающей.
Сравним аргументы: $223° > 222°$.
Поскольку функция котангенса убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ctg(223°) < ctg(222°)$.
Ответ: $ctg(223°) < ctg(222°)$.

6) ctg(-1) и ctg(-1.5)
Оценим значения углов в радианах. $\pi \approx 3.14159$, значит $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Оба угла, -1 и -1.5, находятся в интервале $(-\pi, 0)$.
На этом интервале функция $y = ctg(x)$ является убывающей.
Сравним аргументы: $-1 > -1.5$.
Так как функция котангенса убывает на данном интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ctg(-1) < ctg(-1.5)$.
Ответ: $ctg(-1) < ctg(-1.5)$.

176. Сравните:

1) $ \text{tg } 43^\circ $ и $ \text{ctg } 43^\circ $;

2) $ \text{ctg } 28^\circ $ и $ \text{tg } 59^\circ $;

3) $ \text{tg } 46^\circ $ и $ \text{sin } 91^\circ $.

1) tg 43° и ctg 43°
Чтобы сравнить значения тангенса и котангенса одного и того же угла, можно воспользоваться одним из двух способов.
Способ 1: Сравнение с единицей. Угол $43°$ находится в первой четверти ($0° < 43° < 90°$).
Мы знаем, что $tg \ 45° = 1$. Функция $y=tg \ x$ возрастает в первой четверти. Поскольку $43° < 45°$, то $tg \ 43° < tg \ 45°$, следовательно, $tg \ 43° < 1$.
Мы также знаем, что $ctg \ 45° = 1$. Функция $y=ctg \ x$ убывает в первой четверти. Поскольку $43° < 45°$, то $ctg \ 43° > ctg \ 45°$, следовательно, $ctg \ 43° > 1$.
Так как $tg \ 43° < 1$ и $ctg \ 43° > 1$, то $tg \ 43° < ctg \ 43°$.
Способ 2: Приведение к одной функции. Используем формулу приведения $ctg \ \alpha = tg(90° - \alpha)$.
$ctg \ 43° = tg(90° - 43°) = tg \ 47°$.
Теперь задача сводится к сравнению $tg \ 43°$ и $tg \ 47°$.
Функция $y=tg \ x$ является возрастающей на интервале $(0°; 90°)$.
Поскольку $43° < 47°$, то $tg \ 43° < tg \ 47°$.
Следовательно, $tg \ 43° < ctg \ 43°$.
Ответ: $tg \ 43° < ctg \ 43°$.

2) ctg 28° и tg 59°
Для сравнения этих значений приведем их к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $ctg \ \alpha = tg(90° - \alpha)$.
Преобразуем $ctg \ 28°$:
$ctg \ 28° = tg(90° - 28°) = tg \ 62°$.
Теперь нам нужно сравнить $tg \ 62°$ и $tg \ 59°$.
Оба угла, $62°$ и $59°$, находятся в первой четверти, где функция тангенса возрастает.
Поскольку $62° > 59°$, то и значения тангенсов этих углов будут находиться в том же соотношении: $tg \ 62° > tg \ 59°$.
Заменяя $tg \ 62°$ обратно на $ctg \ 28°$, получаем:
$ctg \ 28° > tg \ 59°$.
Ответ: $ctg \ 28° > tg \ 59°$.

3) tg 46° и sin 91°
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
1. Оценим значение $tg \ 46°$.
Угол $46°$ находится в первой четверти. Мы знаем, что $tg \ 45° = 1$.
Так как функция $y=tg \ x$ возрастает на интервале $(0°; 90°)$ и $46° > 45°$, то $tg \ 46° > tg \ 45°$.
Следовательно, $tg \ 46° > 1$.
2. Оценим значение $sin \ 91°$.
Угол $91°$ находится во второй четверти. Область значений функции синус – отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $sin \ \alpha \leq 1$.
Равенство $sin \ \alpha = 1$ достигается только при $\alpha = 90° + 360°k$, где $k$ – целое число.
Поскольку $91° \neq 90°$, то $sin \ 91° < 1$.
3. Сравним полученные результаты.
Мы установили, что $tg \ 46° > 1$ и $sin \ 91° < 1$.
Из этого следует, что $tg \ 46° > sin \ 91°$.
Ответ: $tg \ 46° > sin \ 91°$.

177. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \sqrt{3} \operatorname{tg} 34^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} 50^{\circ}$?

1)

Рассмотрим равенство $sin\alpha = \sqrt{3}tg34°$.
Область значений функции синус для любого действительного угла $\alpha$ — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, должно выполняться неравенство $-1 \le sin\alpha \le 1$.
Теперь оценим значение выражения в правой части равенства. Функция $y = tg(x)$ является возрастающей в первой четверти ($0° < x < 90°$).
Мы знаем, что $tg30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $34° > 30°$, то и $tg34° > tg30°$.
Подставим известное значение: $tg34° > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Умножим обе части этого неравенства на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} > 0$, знак неравенства не изменится):
$\sqrt{3}tg34° > \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}tg34° > 1$
Получается, что правая часть равенства строго больше 1, в то время как левая часть ($sin\alpha$) не может превышать 1. Следовательно, такое равенство невозможно.
Ответ: нет, невозможно.

2)

Рассмотрим равенство $cos\alpha = ctg50°$.
Область значений функции косинус для любого действительного угла $\alpha$ — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, должно выполняться неравенство $-1 \le cos\alpha \le 1$.
Теперь оценим значение выражения в правой части равенства. Функция $y = ctg(x)$ является убывающей в первой четверти ($0° < x < 90°$).
Мы знаем, что $ctg45° = 1$ и $ctg90° = 0$.
Поскольку $45° < 50° < 90°$, то из-за убывания функции котангенс будет выполняться двойное неравенство: $ctg45° > ctg50° > ctg90°$.
Подставим известные значения:
$1 > ctg50° > 0$
Это означает, что значение $ctg50°$ находится в интервале $(0; 1)$.
Поскольку интервал $(0; 1)$ является частью отрезка $[-1; 1]$ (области значений косинуса), то существует такой угол $\alpha$, для которого $cos\alpha$ будет равен $ctg50°$. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да, возможно.

178. Постройте график функции:

1) $y = \mathrm{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y = \frac{1}{2}\mathrm{tg} x + 2$;

3) $y = \mathrm{ctg} 2x$;

4) $y = -4\mathrm{ctg} \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.

1) $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$

График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg} x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Это периодическая функция с периодом $T=\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
2. Сдвинем весь построенный график, включая его асимптоты, влево на $\frac{\pi}{6}$.
   • Вертикальные асимптоты сместятся и будут задаваться уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   • Нули функции (точки пересечения с осью Ox), которые у $y = \operatorname{tg} x$ находились в точках $x = \pi n$, сместятся в точки $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
   • Точка $(0,0)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{6}, 0)$. Точка пересечения с осью Oy будет $(0, \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}))$, то есть $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{6})$ получается сдвигом графика $y = \operatorname{tg} x$ влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$.

2) $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$

График функции $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{tg} x$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси ординат (Oy) с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Получаем график промежуточной функции $y_1 = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x$. При этом преобразовании ордината каждой точки графика умножается на $\frac{1}{2}$.
2. Параллельный перенос (сдвиг) полученного графика $y_1$ вверх вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы.

Рассмотрим, как меняются свойства графика:

• Период функции остается равным $T=\pi$.
• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, не изменяются.
• Сжатие не меняет нули функции, поэтому нули $y_1 = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x$ находятся там же, где и у $y = \operatorname{tg} x$, то есть в точках $x = \pi n$.
• После сдвига вверх на 2, эти точки $(\pi n, 0)$ переходят в точки $(\pi n, 2)$. График проходит, например, через точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + 2$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия вдоль оси ординат с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и последующим сдвигом вверх вдоль оси ординат на 2 единицы.

3) $y = \operatorname{ctg} 2x$

График функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем сжатия графика к оси ординат (Oy) в 2 раза.

Это преобразование влияет на период функции и положение ее асимптот и нулей:

• Период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $T=\pi$. Период функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ будет в 2 раза меньше: $T' = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ асимптоты будут в точках, где $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$.
• Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Для функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ нули будут в точках, где $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Для построения графика нужно взять график $y = \operatorname{ctg} x$ и сжать его по горизонтали так, чтобы абсцисса каждой точки уменьшилась в 2 раза.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} 2x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ сжатием к оси ординат в 2 раза.

4) $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$ с помощью последовательности из четырех преобразований:

1. Сдвиг вправо: Сначала строим график $y_1 = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. Это график $y = \operatorname{ctg} x$, сдвинутый вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
2. Растяжение по вертикали: Далее строим $y_2 = 4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. График $y_1$ растягивается от оси Ox в 4 раза.
3. Отражение: Затем строим $y_3 = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6})$. График $y_2$ симметрично отражается относительно оси Ox. Из-за этого убывающая функция котангенса становится возрастающей на каждом интервале определения.
4. Сдвиг вверх: Наконец, строим итоговый график $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$. График $y_3$ сдвигается вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.

Ключевые характеристики итогового графика:

• Период не изменился и равен $T=\pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Точки пересечения графика с горизонтальной прямой $y=1$ находятся там, где $\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) = 0$, то есть при $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Эти точки $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, 1)$ являются центрами симметрии для ветвей графика.

Ответ: График функции $y = -4\operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ последовательным применением преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжение вдоль оси ординат в 4 раза, отражение относительно оси абсцисс и сдвиг вверх на 1.

179. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} 3|x|;$

2) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|.$

1) $y = \operatorname{ctg} 3|x|$

Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала рассмотрим функцию $y_1 = \operatorname{ctg} x$. Это стандартный график котангенса с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Далее рассмотрим функцию $y_2 = \operatorname{ctg} (3x)$. Коэффициент 3 при $x$ означает сжатие графика $y_1 = \operatorname{ctg} x$ по горизонтали (к оси $Oy$) в 3 раза. Период этой функции будет $T = \pi/3$. Вертикальные асимптоты будут находиться в точках, где $3x = \pi k$, то есть $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь построим график искомой функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{ctg} 3|-x| = \operatorname{ctg} 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Построение графика функции вида $y = f(|x|)$ выполняется в два шага:

• Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. В нашем случае, при $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{ctg}(3x)$.
• Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси $Oy$.

Итак, алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg}(3x)$ для $x > 0$. Этот график имеет вертикальные асимптоты при $x = \pi/3, 2\pi/3, \pi, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{N}$) и пересекает ось абсцисс в точках $x = \pi/6, \pi/2, 5\pi/6, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ при $n \ge 0$).
2. Поскольку функция четная, отражаем полученный график симметрично относительно оси $Oy$. При этом асимптоты появятся и при отрицательных значениях $x$: $x = -\pi/3, -2\pi/3, \dots$. Ось $Oy$ (то есть прямая $x=0$) также является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $3|x| \to 0$, а $\operatorname{ctg}(z) \to \infty$ при $z \to 0$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} 3|x|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из ветвей графика $y = \operatorname{ctg}(3x)$ для $x>0$ и их зеркального отражения для $x<0$. Вертикальными асимптотами являются прямые $x = \frac{\pi k}{3}$ для всех целых $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

По определению модуля:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Применим это к нашей функции:

1. Если $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это условие выполняется в I и III координатных четвертях, то есть для $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

2. Если $\operatorname{tg} x < 0$.
Это условие выполняется во II и IV координатных четвертях, то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x - (-\operatorname{tg} x) = 2\operatorname{tg} x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ 2\operatorname{tg} x, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k) \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь построим график:

• Область определения функции совпадает с областью определения $\operatorname{tg} x$: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти прямые являются вертикальными асимптотами.
• На интервалах вида $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ график функции совпадает с осью абсцисс ($y=0$). Например, на $[0, \pi/2)$, $[\pi, 3\pi/2)$, $[-\pi, -\pi/2)$ и так далее.
• На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$ график функции совпадает с графиком $y = 2\operatorname{tg} x$. Это график тангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. На этих интервалах значения $\operatorname{tg} x$ отрицательны, поэтому ветви графика $y = 2\operatorname{tg} x$ будут лежать ниже оси абсцисс. Например, на интервале $(\pi/2, \pi)$ значения $y$ изменяются от $-\infty$ до 0.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков на оси $Ox$ на интервалах $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ и ветвей функции $y = 2\operatorname{tg} x$ (растянутого вдвое тангенса) на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$. Все ветви графика расположены ниже оси $Ox$ или на ней. Функция периодическая с периодом $T=\pi$.