Страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Приведите к значению тригонометрической функции положительного аргумента, меньшего 45° (или $\frac{\pi}{4}$):

1) $\sin 153^\circ$;

2) $\cos 295^\circ$;

3) $\operatorname{tg} 168^\circ$;

4) $\operatorname{ctg} (-244^\circ)$;

5) $\operatorname{tg} 2,1\pi$;

6) $\operatorname{ctg} \left(-\frac{15\pi}{7}\right)$;

7) $\sin 6,3\pi$;

8) $\cos \frac{27\pi}{8}$.

1) Угол $153^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 153^\circ < 180^\circ$). Используем формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(153^\circ) = sin(180^\circ - 27^\circ) = sin(27^\circ)$.
Аргумент $27^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $sin(27^\circ)$

2) Угол $295^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 295^\circ < 360^\circ$). Используем формулу приведения $cos(270^\circ + \alpha) = sin(\alpha)$.
$cos(295^\circ) = cos(270^\circ + 25^\circ) = sin(25^\circ)$.
Аргумент $25^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $sin(25^\circ)$

3) Угол $168^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 168^\circ < 180^\circ$). Используем формулу приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.
$tg(168^\circ) = tg(180^\circ - 12^\circ) = -tg(12^\circ)$.
Аргумент $12^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-tg(12^\circ)$

4) Используем свойство нечетности функции котангенс, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и формулу приведения $ctg(270^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$.
$ctg(-244^\circ) = -ctg(244^\circ)$.
Угол $244^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 244^\circ < 270^\circ$).
$-ctg(244^\circ) = -ctg(270^\circ - 26^\circ) = -tg(26^\circ)$.
Аргумент $26^\circ$ является положительным и меньше $45^\circ$.
Ответ: $-tg(26^\circ)$

5) Используем периодичность тангенса (период равен $\pi$). Отбрасываем целое число периодов ($2\pi$).
$tg(2,1\pi) = tg(2\pi + 0,1\pi) = tg(0,1\pi)$.
Сравним аргумент с $\frac{\pi}{4}$: $0,1\pi < 0,25\pi$, то есть $0,1\pi < \frac{\pi}{4}$.
Аргумент $0,1\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $tg(0,1\pi)$

6) Используем свойство нечетности котангенса, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и его периодичность (период равен $\pi$).
$ctg(-\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{15\pi}{7}) = -ctg(\frac{14\pi + \pi}{7}) = -ctg(2\pi + \frac{\pi}{7}) = -ctg(\frac{\pi}{7})$.
Сравним аргумент с $\frac{\pi}{4}$: $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{4}$, так как $\frac{1}{7} < \frac{1}{4}$.
Аргумент $\frac{\pi}{7}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-ctg(\frac{\pi}{7})$

7) Используем периодичность синуса (период равен $2\pi$).
$sin(6,3\pi) = sin(3 \cdot 2\pi + 0,3\pi) = sin(0,3\pi)$.
Аргумент $0,3\pi$ больше $\frac{\pi}{4}$ ($0,3\pi > 0,25\pi$). Применим формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$sin(0,3\pi) = cos(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi) = cos(0,5\pi - 0,3\pi) = cos(0,2\pi)$.
Аргумент $0,2\pi$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$ ($0,2\pi < 0,25\pi$).
Ответ: $cos(0,2\pi)$

8) Используем периодичность косинуса и формулы приведения.
$cos(\frac{27\pi}{8}) = cos(\frac{24\pi + 3\pi}{8}) = cos(3\pi + \frac{3\pi}{8})$.
Так как $cos(3\pi + \alpha) = cos(2\pi + \pi + \alpha) = cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$, то:
$cos(3\pi + \frac{3\pi}{8}) = -cos(\frac{3\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ больше $\frac{\pi}{4}$ ($\frac{3\pi}{8} > \frac{2\pi}{8}$). Применим формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$-cos(\frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{4\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) = -sin(\frac{\pi}{8})$.
Аргумент $\frac{\pi}{8}$ является положительным и меньше $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-sin(\frac{\pi}{8})$

199. Вычислите:

1) $ \sin 225^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} (-240^\circ) $;

3) $ \cos \left(-\frac{5\pi}{4}\right) $;

4) $ \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{6} $;

5) $ \sin 1110^\circ $;

6) $ \cos \frac{74\pi}{3} $.

1) sin 225°

Для вычисления значения $\sin 225^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$.

$\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ)$

Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ$

Табличное значение $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) tg (-240°)

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

$\operatorname{tg}(-240^\circ) = -\operatorname{tg}(240^\circ)$

Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Представим $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$.

Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$:

$-\operatorname{tg}(240^\circ) = -\operatorname{tg}(180^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{tg}(60^\circ)$

Табличное значение $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(-240^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) cos (-5π/4)

Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})$

Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.

Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) ctg (11π/6)

Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Представим $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$.

Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$:

$\operatorname{ctg}(\frac{11\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\operatorname{ctg}(\frac{11\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

5) sin 1110°

Функция синус имеет период $360^\circ$. Это означает, что $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем, какому углу в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$ соответствует угол $1110^\circ$.

Разделим $1110$ на $360$:

$1110 = 3 \cdot 360 + 30$

Значит, $1110^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.

$\sin(1110^\circ) = \sin(3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Табличное значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

6) cos (74π/3)

Функция косинус имеет период $2\pi$. Это означает, что $\cos(\alpha + 2\pi \cdot k) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$. Выделим целое число периодов $2\pi$ в угле $\frac{74\pi}{3}$.

$\frac{74\pi}{3} = \frac{72\pi + 2\pi}{3} = \frac{72\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 24\pi + \frac{2\pi}{3} = 12 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\frac{74\pi}{3}) = \cos(12 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Применим формулу приведения, представив $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(\frac{74\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

200. Найдите значение выражения:

1) $4\sin 225^\circ - 6\cos 120^\circ + \text{tg } 300^\circ + 3\text{ctg } 240^\circ$;

2) $\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \cos \frac{13\pi}{4} - \text{tg } \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \text{ctg } \frac{7\pi}{6}$;

3) $\sin 463^\circ \cos 373^\circ + \cos 103^\circ \sin 193^\circ$;

4) $\frac{\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ}{\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ}$.

1) $4\sin 225^\circ - 6\cos 120^\circ + \operatorname{tg} 300^\circ + 3\operatorname{ctg} 240^\circ$

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы найти значения каждой тригонометрической функции для стандартных углов.

1. $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

3. $\operatorname{tg} 300^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}$

4. $\operatorname{ctg} 240^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-\sqrt{3}) + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.

2) $\sin(-\frac{11\pi}{3}) \cos\frac{13\pi}{4} \operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{6}$

Найдем значение каждого множителя в выражении, используя свойства тригонометрических функций и формулы приведения.

1. $\sin(-\frac{11\pi}{3}) = -\sin(\frac{11\pi}{3}) = -\sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. $\cos\frac{13\pi}{4} = \cos(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + 2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

4. $\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{6} = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

Перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$.

3) $\sin 463^\circ \cos 373^\circ + \cos 103^\circ \sin 193^\circ$

Упростим выражение, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения.

$\sin 463^\circ = \sin(360^\circ + 103^\circ) = \sin 103^\circ$

$\cos 373^\circ = \cos(360^\circ + 13^\circ) = \cos 13^\circ$

$\sin 193^\circ = \sin(180^\circ + 13^\circ) = -\sin 13^\circ$

Подставим преобразованные значения в исходное выражение:

$\sin 103^\circ \cos 13^\circ + \cos 103^\circ (-\sin 13^\circ) = \sin 103^\circ \cos 13^\circ - \cos 103^\circ \sin 13^\circ$

Полученное выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 103^\circ$ и $\beta = 13^\circ$.

$\sin(103^\circ - 13^\circ) = \sin 90^\circ = 1$.

Ответ: $1$.

4) $\frac{\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ}{\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ}$

Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Числитель: $\sin 148^\circ \sin 168^\circ + \cos 12^\circ \cos 212^\circ$

$\sin 148^\circ = \sin(180^\circ - 32^\circ) = \sin 32^\circ$

$\sin 168^\circ = \sin(180^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$

$\cos 212^\circ = \cos(180^\circ + 32^\circ) = -\cos 32^\circ$

Подставляем: $\sin 32^\circ \sin 12^\circ + \cos 12^\circ (-\cos 32^\circ) = \sin 32^\circ \sin 12^\circ - \cos 12^\circ \cos 32^\circ = -(\cos 12^\circ \cos 32^\circ - \sin 12^\circ \sin 32^\circ)$.

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$-(\cos(12^\circ + 32^\circ)) = -\cos 44^\circ$.

Знаменатель: $\sin 110^\circ \cos 336^\circ + \cos 250^\circ \sin 24^\circ$

$\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$

$\cos 336^\circ = \cos(360^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ$

$\cos 250^\circ = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos 70^\circ$

Подставляем: $\sin 70^\circ \cos 24^\circ + (-\cos 70^\circ) \sin 24^\circ = \sin 70^\circ \cos 24^\circ - \cos 70^\circ \sin 24^\circ$.

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$:

$\sin(70^\circ - 24^\circ) = \sin 46^\circ$.

Вычисляем дробь:

$\frac{-\cos 44^\circ}{\sin 46^\circ}$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin 46^\circ = \sin(90^\circ - 44^\circ) = \cos 44^\circ$.

$\frac{-\cos 44^\circ}{\cos 44^\circ} = -1$.

Ответ: $-1$.

201. Упростите выражение:

1) $ \cos(\pi - \alpha) + \text{ctg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

2) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + \sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

3) $ \frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\text{ctg}(\pi - \beta)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)}. $

1) Упростим выражение $ \cos(\pi - \alpha) + \text{ctg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения:

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция не меняется).
• $ \text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положительный, функция не меняется).
• $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию).
• $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол во II четверти, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ -\cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) - (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) = -\cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) $

Приведем подобные слагаемые:

$ (-\cos(\alpha) + \cos(\alpha)) + (\text{ctg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha)) = 0 + 0 = 0 $

Ответ: $ 0 $

2) Упростим выражение $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + \sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Преобразуем каждый множитель с помощью формул приведения и свойств тригонометрических функций:

• $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $, так как косинус — четная функция.
  Далее, $ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Отбрасывая полный оборот $ 2\pi $, получаем:
  $ \cos\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в I четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).
• $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол во II четверти, синус положительный, функция не меняется).
• $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в I четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha) $

Ответ: $ 2\sin^2(\alpha) $

3) Упростим выражение $ \frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\text{ctg}(\pi - \beta)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)} $.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя формулы приведения.

Числитель:

• $ \sin(\beta - \pi) = -\sin(\pi - \beta) = -\sin(\beta) $ (используем нечетность синуса, затем формулу приведения для II четверти).
• $ \cos(2\pi - \beta) = \cos(-\beta) = \cos(\beta) $ (используем периодичность и четность косинуса).
• $ \sin(2\pi + \beta) = \sin(\beta) $ (используем периодичность синуса).

Таким образом, числитель равен: $ (-\sin(\beta)) \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(\beta) = -\sin^2(\beta)\cos(\beta) $.

Знаменатель:

• $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos(\beta) $ (формула приведения для I четверти, функция меняется).
• $ \text{ctg}(\pi - \beta) = -\text{ctg}(\beta) $ (угол во II четверти, котангенс отрицательный, функция не меняется).
• $ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right) = -\text{tg}(\beta) $ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Таким образом, знаменатель равен: $ \cos(\beta) \cdot (-\text{ctg}(\beta)) \cdot (-\text{tg}(\beta)) $.

Так как $ \text{ctg}(\beta) \cdot \text{tg}(\beta) = 1 $, то знаменатель упрощается до: $ \cos(\beta) \cdot 1 = \cos(\beta) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{-\sin^2(\beta)\cos(\beta)}{\cos(\beta)} $

Сокращая $ \cos(\beta) $ (при условии, что $ \cos(\beta) \neq 0 $), получаем:

$ -\sin^2(\beta) $

Ответ: $ -\sin^2(\beta) $

202. Упростите выражение:

1) $ \cos 30^\circ + \cos 40^\circ + \cos 50^\circ + \dots + \cos 150^\circ; $

2) $ \tan 41^\circ \tan 42^\circ \tan 43^\circ \dots \tan 49^\circ. $

1) Рассмотрим сумму $S = \cos 30^\circ + \cos 40^\circ + \cos 50^\circ + \dots + \cos 150^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Каждая такая пара будет давать в сумме 0. Например:
$\cos 30^\circ + \cos 150^\circ = \cos 30^\circ + \cos(180^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ - \cos 30^\circ = 0$.
Аналогично, суммы пар $(\cos 40^\circ, \cos 140^\circ)$, $(\cos 50^\circ, \cos 130^\circ)$, $(\cos 60^\circ, \cos 120^\circ)$, $(\cos 70^\circ, \cos 110^\circ)$ и $(\cos 80^\circ, \cos 100^\circ)$ тоже равны нулю.
Центральным членом в этой последовательности является $\cos 90^\circ$, который не имеет пары. Его значение также равно 0.
Таким образом, вся сумма состоит из слагаемых, которые в сумме дают ноль, поэтому итоговый результат равен 0.
Ответ: 0

2) Рассмотрим произведение $P = \operatorname{tg} 41^\circ \operatorname{tg} 42^\circ \operatorname{tg} 43^\circ \dots \operatorname{tg} 49^\circ$.
Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ и тождество $\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$.
Сгруппируем множители попарно: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Произведение каждой такой пары будет равно 1. Например:
$\operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{tg} 49^\circ = \operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - 41^\circ) = \operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{ctg} 41^\circ = 1$.
Аналогично, произведения пар $(\operatorname{tg} 42^\circ, \operatorname{tg} 48^\circ)$, $(\operatorname{tg} 43^\circ, \operatorname{tg} 47^\circ)$ и $(\operatorname{tg} 44^\circ, \operatorname{tg} 46^\circ)$ равны 1.
Центральным множителем в этом произведении является $\operatorname{tg} 45^\circ$, который не имеет пары. Его значение равно 1.
Таким образом, всё произведение является произведением единиц, и итоговый результат равен 1.
Ответ: 1