Номер 201, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Упростите выражение:

1) $ \cos(\pi - \alpha) + \text{ctg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

2) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + \sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

3) $ \frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\text{ctg}(\pi - \beta)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)}. $

1) Упростим выражение $ \cos(\pi - \alpha) + \text{ctg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения:

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция не меняется).
• $ \text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положительный, функция не меняется).
• $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию).
• $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол во II четверти, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ -\cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) - (-\cos(\alpha)) + (-\text{ctg}(\alpha)) = -\cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) $

Приведем подобные слагаемые:

$ (-\cos(\alpha) + \cos(\alpha)) + (\text{ctg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha)) = 0 + 0 = 0 $

Ответ: $ 0 $

2) Упростим выражение $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + \sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Преобразуем каждый множитель с помощью формул приведения и свойств тригонометрических функций:

• $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) $, так как косинус — четная функция.
  Далее, $ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Отбрасывая полный оборот $ 2\pi $, получаем:
  $ \cos\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в I четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).
• $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол во II четверти, синус положительный, функция не меняется).
• $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) $ (угол в I четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha) $

Ответ: $ 2\sin^2(\alpha) $

3) Упростим выражение $ \frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\text{ctg}(\pi - \beta)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)} $.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя формулы приведения.

Числитель:

• $ \sin(\beta - \pi) = -\sin(\pi - \beta) = -\sin(\beta) $ (используем нечетность синуса, затем формулу приведения для II четверти).
• $ \cos(2\pi - \beta) = \cos(-\beta) = \cos(\beta) $ (используем периодичность и четность косинуса).
• $ \sin(2\pi + \beta) = \sin(\beta) $ (используем периодичность синуса).

Таким образом, числитель равен: $ (-\sin(\beta)) \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(\beta) = -\sin^2(\beta)\cos(\beta) $.

Знаменатель:

• $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos(\beta) $ (формула приведения для I четверти, функция меняется).
• $ \text{ctg}(\pi - \beta) = -\text{ctg}(\beta) $ (угол во II четверти, котангенс отрицательный, функция не меняется).
• $ \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right) = -\text{tg}(\beta) $ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Таким образом, знаменатель равен: $ \cos(\beta) \cdot (-\text{ctg}(\beta)) \cdot (-\text{tg}(\beta)) $.

Так как $ \text{ctg}(\beta) \cdot \text{tg}(\beta) = 1 $, то знаменатель упрощается до: $ \cos(\beta) \cdot 1 = \cos(\beta) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{-\sin^2(\beta)\cos(\beta)}{\cos(\beta)} $

Сокращая $ \cos(\beta) $ (при условии, что $ \cos(\beta) \neq 0 $), получаем:

$ -\sin^2(\beta) $

Ответ: $ -\sin^2(\beta) $