Номер 208, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Докажите тождество:

1) $\cos 4\alpha + 2\sin^2 2\alpha = 1;$

2) $\text{ctg } 6\alpha (1 - \cos 12\alpha) = \sin 12\alpha;$

3) $\frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg } \frac{\alpha}{2}.$

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$.

Пусть $x = 2\alpha$, тогда $2x = 4\alpha$. Подставив это в формулу, получим: $cos(4\alpha) = 1 - 2sin^2(2\alpha)$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$cos(4\alpha) + 2sin^2(2\alpha) = (1 - 2sin^2(2\alpha)) + 2sin^2(2\alpha)$

Упростим выражение:

$1 - 2sin^2(2\alpha) + 2sin^2(2\alpha) = 1$

Левая часть равна правой части ($1=1$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала запишем котангенс через синус и косинус: $ctg(6\alpha) = \frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)}$.

Далее используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - cos(2x) = 2sin^2(x)$.

Пусть $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$. Получаем: $1 - cos(12\alpha) = 2sin^2(6\alpha)$.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$ctg(6\alpha)(1 - cos(12\alpha)) = \frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)} \cdot 2sin^2(6\alpha)$

Сократим $sin(6\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{cos(6\alpha)}{sin(6\alpha)} \cdot 2sin^2(6\alpha) = 2cos(6\alpha)sin(6\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Пусть $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$. Получаем:

$2sin(6\alpha)cos(6\alpha) = sin(2 \cdot 6\alpha) = sin(12\alpha)$

Левая часть равна правой части ($sin(12\alpha) = sin(12\alpha)$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Для доказательства тождества преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла для $\alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2}$.

Для числителя используем формулу синуса двойного угла $sin(\alpha) = 2sin(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\alpha}{2})$:

$sin(\alpha) + sin(\frac{\alpha}{2}) = 2sin(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\alpha}{2}) + sin(\frac{\alpha}{2})$

Вынесем общий множитель $sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:

$sin(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла $cos(\alpha) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$ и $1 + cos(\alpha) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$1 + cos(\alpha) + cos(\frac{\alpha}{2}) = (1 + (2cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1)) + cos(\frac{\alpha}{2}) = 2cos^2(\frac{\alpha}{2}) + cos(\frac{\alpha}{2})$

Вынесем общий множитель $cos(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:

$cos(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{sin(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)}{cos(\frac{\alpha}{2})(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)}$

Сократим общий множитель $(2cos(\frac{\alpha}{2}) + 1)$:

$\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})} = tg(\frac{\alpha}{2})$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.