Номер 204, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Найдите значение выражения:

1) $2\sin^2 \frac{3\pi}{8} - 1$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 15^\circ - 1}{\operatorname{tg}^2 15^\circ + 1}$;

3) $2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ \cos 75^\circ$.

1)

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Выразим из этой формулы искомое выражение $2\sin^2\alpha - 1$:$2\sin^2\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha)$. В данном случае, угол $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. Подставим его в полученную формулу:$2\sin^2\frac{3\pi}{8} - 1 = -\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = -\cos(\frac{6\pi}{8}) = -\cos(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Используя формулу приведения, находим его значение:$\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, значение всего выражения равно:$-\cos(\frac{3\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha}$. Преобразуем исходное выражение, вынеся знак минус из числителя:$\frac{\tg^2 15^\circ - 1}{\tg^2 15^\circ + 1} = \frac{-(1 - \tg^2 15^\circ)}{1 + \tg^2 15^\circ} = -\frac{1 - \tg^2 15^\circ}{1 + \tg^2 15^\circ}$. Теперь видно, что выражение соответствует формуле косинуса двойного угла со знаком минус, где $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу:$-\frac{1 - \tg^2 15^\circ}{1 + \tg^2 15^\circ} = -\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, итоговый результат:$-\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3)

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Рассмотрим первую часть выражения: $2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ$. Она полностью соответствует формуле при $\alpha = 37,5^\circ$.$2\sin 37,5^\circ \cos 37,5^\circ = \sin(2 \cdot 37,5^\circ) = \sin(75^\circ)$. После преобразования исходное выражение принимает вид:$\sin(75^\circ) \cos(75^\circ)$. Снова применим формулу синуса двойного угла. Из формулы $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Подставим в это соотношение $\alpha = 75^\circ$:$\sin(75^\circ)\cos(75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2}\sin(150^\circ)$. Найдем значение $\sin(150^\circ)$ с помощью формулы приведения:$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим найденное значение в выражение:$\frac{1}{2}\sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$