Номер 197, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Упростите выражение:

1) $ \sin(\pi - \alpha); $

2) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right); $

3) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

4) $ \operatorname{ctg}(\alpha - \pi); $

5) $ \sin^2\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right); $

6) $ \cos^2(360^\circ - \alpha). $

1) sin(π - α)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти (если считать, что $ \alpha $ - острый угол). Во второй четверти синус имеет положительный знак. Так как в формуле присутствует $ \pi $ (целое число $ \pi $), название функции (синус) не меняется.
Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
В качестве альтернативы можно использовать формулу синуса разности:
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\pi)\cos(\alpha) - \cos(\pi)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

2) cos(3π/2 + α)

Используем формулу приведения. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак. Так как в формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $ (половинное число $ \pi $), название функции меняется на кофункцию (косинус на синус).
Следовательно, $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha) $.
Можно также проверить по формуле косинуса суммы:
$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

3) tg(π/2 + α)

Применим формулу приведения. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти тангенс имеет отрицательный знак. Так как в формуле есть $ \frac{\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс).
Таким образом, $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha) $.
Проверим через определение тангенса:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = -\text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ -\text{ctg}(\alpha) $

4) ctg(α - π)

Воспользуемся свойством периодичности котангенса. Наименьший положительный период котангенса равен $ \pi $.
$ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{ctg}(\alpha) $.
Также можно использовать свойство нечетности котангенса ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $) и формулу приведения:
$ \text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{ctg}(\pi - \alpha) $.
Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен, а название функции не меняется.
$ -\text{ctg}(\pi - \alpha) = -(-\text{ctg}(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

5) sin²(7π/2 + α)

Сначала упростим выражение под знаком синуса. Учтем, что период синуса равен $ 2\pi $.
$ \frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} $.
$ \sin\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) $.
Теперь применим формулу приведения для $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) $. Угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Функция меняется на кофункцию.
$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos(\alpha) $.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$ \sin^2\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \left(\sin\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)\right)^2 = \left(-\cos(\alpha)\right)^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

6) cos²(360° - α)

Сначала упростим $ \cos(360^\circ - \alpha) $. Угол $ 360^\circ - \alpha $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле $ 360^\circ $, название функции не меняется.
$ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Также можно воспользоваться свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $. Так как $ 360^\circ $ - это полный оборот, то $ \cos(360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Теперь возведем результат в квадрат:
$ \cos^2(360^\circ - \alpha) = (\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $