Номер 196, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha;$

2) $5 \sin \alpha - 12 \cos \alpha.$

1)

Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Данный метод заключается в преобразовании выражения к виду $R\cos(\alpha - \phi)$ или $R\sin(\alpha + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В выражении $\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha$ коэффициенты при $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ равны $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$ соответственно.

Найдем значение $R$:
$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $R$ за скобки в исходном выражении:
$\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha \right)$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в выражение:
$2 \left( \cos(\frac{\pi}{6})\cos\alpha + \sin(\frac{\pi}{6})\sin\alpha \right)$.

Используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$, получаем:
$2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$.

Поскольку область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, наибольшее значение выражения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ равно 1.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения $2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

2)

Аналогично первому пункту, найдем наибольшее значение выражения $5\sin\alpha - 12\cos\alpha$.

Это выражение также имеет вид $a\sin\alpha + b\cos\alpha$, где $a = 5$ и $b = -12$.

Вычислим $R$:
$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Преобразуем выражение:
$5\sin\alpha - 12\cos\alpha = 13 \left( \frac{5}{13}\sin\alpha - \frac{12}{13}\cos\alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{5}{13}$ и $\sin\phi = \frac{12}{13}$. Такой угол существует, так как $(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Подставив эти значения, получим:
$13(\cos\phi\sin\alpha - \sin\phi\cos\alpha)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, получаем:
$13\sin(\alpha - \phi)$.

Наибольшее значение функции синус равно 1. Поэтому наибольшее значение выражения $13\sin(\alpha - \phi)$ равно $13 \cdot 1 = 13$.

Ответ: 13