Номер 199, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Вычислите:

1) $ \sin 225^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} (-240^\circ) $;

3) $ \cos \left(-\frac{5\pi}{4}\right) $;

4) $ \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{6} $;

5) $ \sin 1110^\circ $;

6) $ \cos \frac{74\pi}{3} $.

1) sin 225°

Для вычисления значения $\sin 225^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$.

$\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ)$

Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ$

Табличное значение $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) tg (-240°)

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

$\operatorname{tg}(-240^\circ) = -\operatorname{tg}(240^\circ)$

Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Представим $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$.

Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$:

$-\operatorname{tg}(240^\circ) = -\operatorname{tg}(180^\circ + 60^\circ) = -\operatorname{tg}(60^\circ)$

Табличное значение $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(-240^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) cos (-5π/4)

Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})$

Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.

Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) ctg (11π/6)

Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Представим $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$.

Используем формулу приведения $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$:

$\operatorname{ctg}(\frac{11\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\operatorname{ctg}(\frac{11\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

5) sin 1110°

Функция синус имеет период $360^\circ$. Это означает, что $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$. Найдем, какому углу в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$ соответствует угол $1110^\circ$.

Разделим $1110$ на $360$:

$1110 = 3 \cdot 360 + 30$

Значит, $1110^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.

$\sin(1110^\circ) = \sin(3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Табличное значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

6) cos (74π/3)

Функция косинус имеет период $2\pi$. Это означает, что $\cos(\alpha + 2\pi \cdot k) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$. Выделим целое число периодов $2\pi$ в угле $\frac{74\pi}{3}$.

$\frac{74\pi}{3} = \frac{72\pi + 2\pi}{3} = \frac{72\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 24\pi + \frac{2\pi}{3} = 12 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\frac{74\pi}{3}) = \cos(12 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Применим формулу приведения, представив $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(\frac{74\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.